Getallen: Machten en wortels
Hogeremachtswortels
De wortels die we tot nu toe hebben gezien, worden ook wel eens een tweedemachtswortels genoemd. Hierdoor kunnen we beter onderscheid maken tussen de standaard wortel en hogeremachtswortels, die we hier zullen definiëren.
Omdat #\blue2^\green3=\orange8# noemen we #\blue2# de #\green{\text{derde}}#machtswortel van #\orange8#. We noteren dit als:
\[\sqrt[\green3]{\orange8}=\blue2\]
Op dezelfde wijze geldt: omdat #\blue2^\green4=\orange{16}# noemen we #\blue2# de #\phantom{xxx}##\green{\text{vierde}}#machtswortel van #\orange{16}#. We noteren dit als:
\[\sqrt[\green4]{\orange{16}}=\blue2\]
In het algemeen geldt:
De #\green{\textit{derde}}#machtswortel van een #\orange{\textit{getal}}# is een #\blue{\textit{getal}}# dat tot de macht #\green{3}# gelijk is aan #\orange{\textit{het getal onder de wortel}}#.
De #\green{\textit{vierde}}#machtswortel van een #\orange{\textit{getal}}# is een #\blue{\textit{niet-negatief getal}}# dat tot de macht #\green{4}# gelijk is aan #\orange{\textit{het getal onder de wortel}}#.
We kunnen dit doortrekken naar nog hogere machten, waarbij geldt dat de #\blue{\text{uitkomst}}# positief én negatief kan zijn als de #\green{\text{macht}}# oneven is, en alleen niet-negatief kan zijn als de #\green{\text{macht}}# even is.
Voorbeelden
\[\begin{array}{rcl}\sqrt[\green3]{\orange{27}}&=&\blue3 \\ &&\text{want }\blue3^\green{3}=\orange{27} \\ \\\sqrt[\green4]{\orange{625}}&=&\blue5 \\&&\text{want }\blue5^\green4=\orange{625} \text{ en } \blue5 \geq 0 \\ \\\sqrt[\green5]{\orange{32}}&=&\blue2 \\&&\text{want }\blue2^\green5=\orange{32}\\ \\\sqrt[\green3]{\orange{-8}}&=&\blue{-2} \\&&\text{want }(\blue{-2})^\green3=\orange{-8} \\ \\\sqrt[\green6]{\orange{729}}&=&\blue3 \\&&\text{want }\blue3^\green6=\orange{729} \text{ en } \blue3 \geq 0 \end{array}\]
Net als bij tweedemachtswortels komen ook hogeremachtswortels vaak niet geheel uit.
Volgens de definitie van de derdemachtswortel geldt \[\left(\sqrt[\green3]{\orange2}\right)^3=\orange2\]
We zouden graag willen weten hoe groot #\sqrt[\green3]{\orange2}# ongeveer is.
Omdat #1^3=1# en #2^3=8# zien we dat #1 \lt \sqrt[\green3]{\orange2} \lt 2#.
Met de rekenmachine vinden we de benadering #\sqrt[\green3]{\orange2} \approx 1.25992105....#
Net als #\sqrt{2}# heeft #\sqrt[\green3]{\orange2}# een oneindige hoeveelheid decimalen. Wanneer opgaven niet afgerond mogen worden, is #\sqrt[\green3]{\orange2}# dan ook een eindantwoord. Net als #1#, #\tfrac{1}{2}#, #0.6# en #\sqrt{2}#, is #\sqrt[\green3]{\orange2}# een getal.
We zagen in de voorbeelden in de definitie al dat de derdemachtswortel van een negatief getal bestaat. Voor hogeremachtswortels met een even macht geldt dit niet.
Volgens de definitie van de #\green{\text{vierde}}#machtswortel zou #\sqrt[\green4]{\orange{-1}}# een getal moeten zijn dat tot de vierde macht gelijk is aan #\orange{-1}#.
Maar, als we een positief getal tot de #\green{\text{vierde}}# macht verheffen, komt daar altijd een positief getal uit. Een positief getal kan tot de macht #\green4# dus nooit #\orange{-1}# worden.
Ook een negatief getal tot de #\green{\text{vierde}}# macht is altijd een positief getal. Ook een negatief getal kan dus tot de #\green{\text{vierde}}# macht nooit #\orange{-1}# worden.
Dit betekent dus dat #\sqrt[\green4]{\orange{-1}}# niet bestaat. We kunnen dus alleen vierdemachtswortels trekken van niet-negatieve getallen. Ditzelfde geldt voor alle hogeremachtswortels met een even macht. Voor hogeremachtswortels met een oneven macht geldt dit niet.
Andere voorbeelden
\[\begin{array}{rcl}\\ \sqrt[\green3]{\orange{-64}}&=&\blue{-4} \\ \\ \sqrt[\green4]{\orange{-16}} && \text{bestaat niet} \\ \\ \sqrt[\green5]{\orange{-243}}&=&\blue{-3} \\ \\ \sqrt[\green6]{-\orange{-729}} && \text{bestaat niet}\end{array}\]
Wanneer we #\sqrt[6]{15625}# moeten berekenen, zijn we op zoek naar een niet-negatiefgetal dat tot de macht #6# gelijk is aan #15625#.
In dit geval geldt:
\[5^6=15625\]
Dus: #\sqrt[6]{15625}=5#
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.