Meetkunde: Lissajousfiguren
Afgeleiden van parameterkrommen
Bij een parametervergelijking #\ivcc{\blue{x(t)}}{\green{y(t)}}# kunnen we de notie van een vector gebruiken om de snelheid en richting van de kromme in een punt te beschrijven.
Herinner je de parametervergelijking voor het gooien van een bal. Ze worden gegeven door
\[\orange P \colon \phantom{x}\begin{cases}\blue{x(t)}&=10 \cdot \cos( \theta ) t\\ \green{y(t)}&= 10 \cdot \sin(\theta) t - \frac{1}{2}g \cdot t^2 \end{cases}\]
Hier is een figuur waar we een vector #\vec{v}# die de richting van de bal weergeeft hebben toegevoegd. De lengte #\| \vec{v} \|# van #\vec{v}# is gelijk aan de totale snelheid. Merk op dat de bal het snelst gaat wanneer het net is gegooid of precies op het moment dat hij de grond raakt.
Voor een reëelwaardige functie maakt de afgeleide het begrip van de richting van een functie nauwkeurig. We generaliseren dit begrip tot parametervergelijkingen. Met vectoren verwant aan parametervergelijkingen hebben we het extra voordeel dat wij ook de definitie van de "snelheid" van een parameterkromme verkrijgen.
Laat #\orange C# een parameterkromme zijn gegeven door #\cv {\blue{x(t)} \\ \green{y(t)} }#.
De richtingsvector op #t_0# van #\orange C# wordt gedefinieerd als de vector #\cv{\blue{x'(t)}\\ \green{y'(t)}}#.
De snelheid op #t_0# wordt gegeven door de lengte van de richtingsvector. Het wordt expliciet gegeven door \[\sqrt{\blue{x'(t_0)}^2+\green{y'(t_0)}^2}\]
Voorbeeld
De richtingsvector #t=2# van de kromme gegeven door \[\cv{\blue{x(t)}\\ \green{y(t)}} = \cv{\blue{2t-1} \\ \green{t^2}}\] wordt gegeven door \[\cv{\blue{x'(2)}\\ \green{y'(2)} }=\cv{ \blue{2}\\ \green{4} }\] de snelheid wordt dan gegeven door #\sqrt{\blue{2}^2+\green{4}^2}=2\sqrt{5}#.
Als toepassing van alle voorgaande theorie kunnen we nu de raaklijn in een punt op een kromme bepalen.
Raaklijn aan een kromme
Laat #\orange{C}# de kromme zijn gegeven door #\ivcc{ \blue{ x(t) }}{ \green{ y(t)} }#. Maak #\blue{a} = \blue{x'(t_0)}# en # \green{b} = \green{ y'(t_0)}#. De afgeleide van #\orange C# op tijdstip #t = t_0# wordt dan gegeven door \[ \cv{ \blue{x'(t_0) } \\ \green{y'(t_0)}} = \cv{ \blue{a} \\ \green{b}}\]
We hebben gezien in het uitklapblok omgekeerde dat een regel in de vorm \[ - \green{b} x + \blue{a} y = c \] de richtingsvector #\cv{ \blue{a} \\ \green{b}}# heeft.
We kunnen #c# vinden door #x = \blue{x(t_0)}# en #y = \green{y(t_0)}# in de vergelijking te substitueren.
Voorbeeld
Stel #\orange{C}# wordt weergegeven door #\ivcc{ \blue{ \cos (2t) }}{ \green{ \sin(t) + \cos(t)} }# en #t = \pi#.
De afgeleide op #t = \pi# wordt gegeven door \[\begin{array}{rcl}\cv{\blue{x'(\pi)} \\ \green{y'(\pi)
}}& = & \cv{ \blue{-2 \sin(2\pi)} \\ \green{\cos(\pi) - \sin(\pi)}} \\ & = & \cv{ \blue{0} \\ \green{-1} }\end{array} \]
Dus de lijn #l \colon \green{1} x + \blue{0} y = c# heeft de juiste helling.
Door het substitueren van #x = \blue{x(\pi)} = 1# en #y = \green{y(\pi)} = -1# vinden we #c = 1#.
Dus verticale lijn #l \colon x = 1# is de raaklijn.
De snelheid van een kromme op #t# is gelijk aan #\sqrt{ x'(t)^2 + y'(t)^2}#. We krijgen
\[\begin{array}{rcl}
\sqrt{ x'(t)^2 + y'(t)^2 } & = & \sqrt{\left(-6\cdot t-2\right)^2+4}\\
&& \blue{ \text { afgeleide van } x(t) \text{ en } y(t) \text {bepaald } } \\
& = & \sqrt{36\cdot t^2+24\cdot t+8}\\
&& \blue{ \text { haakjes uitgewerkt } } \\
& = & \sqrt{36\cdot (-2)^2+24\cdot (-2)+8}\\
&& \blue{ t = -2 \text { gesubstitueerd } } \\
& = & 2\cdot \sqrt{26}\\
&& \blue{ \text { vereenvoudigd} }
\end{array}\]
We vinden dat de snelheid op #t = -2# gelijk is aan #2\cdot \sqrt{26}#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.