Machten en wortels

Wanneer we #\left(\sqrt[\green3]{\blue8}\right)^\green3# berekenen, krijgen we:

\[\left(\sqrt[\green3]{\blue8}\right)^\green3=2^\green3=\blue8\]

Op dezelfde wijze kunnen we dit ook doen voor wortels met andere machten. In het algemeen geldt:

De hogeremachtswortel tot de macht van de wortel is gelijk aan het getal onder het wortelteken.

Op dezelfde wijze als bij gewone wortels geldt ook:

\[\begin{array}{rcrrcr}\sqrt[\green3]{\blue8^\green3}&=& \sqrt[\green3]{512}&=&\blue8\\\sqrt[\green3]{(\blue{-8})^\green3}&=&\sqrt[\green3]{-512}&=&\blue{-8}\\\sqrt[\green4]{\blue2^\green4}&=&\sqrt[\green4]{16}&=&\blue2\\\sqrt[\green4]{(\blue{-2})^\green4}&=&\sqrt[\green4]{16}&=&\blue2\end{array}\]

In het algemeen geldt:

Voor oneven machten: een hogeremachtswortel van een getal dat tot de macht van de wortel genomen is, is gelijk aan het getal dat tot de macht gaat.

Voor even machten: een hogeremachtswortel van een getal dat tot de macht van de wortel genomen is, is gelijk aan de absolute waarde van het getal dat tot de macht gaat.

Voorbeelden

\[\begin{array}{rclrcl}\left(\sqrt[\green4]{\blue2}\right)^\green4&=&\blue2 \\ \\ \left(\sqrt[\green5]{\blue{20}}\right)^\green5&=&\blue{20} \\\\ \left(\sqrt[\green5]{\blue{-3}}\right)^\green5&=&\blue{-3}\\\\\\ \\ \sqrt[\green5]{\blue2^\green5}&=&\blue2 \\ \\ \sqrt[\green4]{\blue{20}^\green4}&=&\abs{\blue{20}}&=&\blue{20} \\ \\ \sqrt[\green3]{\left(\blue{-4}\right)^\green3}&=&\blue{-4} \\ \\ \sqrt[\green4]{\left(\blue{-5}\right)^\green4}&=&\abs{\blue{-5}}&=&\blue{5} \end{array}\]

Producten van wortels

Wanneer we #\sqrt[\green3]{\blue8}# en #\sqrt[\green3]{\orange{64}}# vermenigvuldigen krijgen we:

\[\sqrt[\green3]{\blue8} \times \sqrt[\green3]{\orange{64}}=2 \times 4=8=\sqrt[\green3]{512}=\sqrt[\green3]{\blue8 \times \orange{64}}\]

In het algemeen geldt:

Het product van twee hogeremachtswortels met dezelfde macht is de hogeremachtswortel van het product van de getallen onder de worteltekens.

We kunnen deze regel ook de andere kant op gebruiken, dus:

De hogeremachtswortel van een product is het product van de hogeremachtswortels met dezelfde macht.

Voorbeelden

\[\begin{array}{rcl}\sqrt[\green4]{\blue3}\times \sqrt[\green4]{\orange{27}}&=&\sqrt[\green4]{\blue3 \times \orange{27}} \\ &=& \sqrt[\green4]{81} \\ &=& 3 \\ \\ \sqrt[\green3]{32}&=&\sqrt[\green3]{\blue8 \times \orange4} \\&=& \sqrt[\green3]{\blue8} \times \sqrt[\green3]{\orange4}\\&=&2\sqrt[\green3]{\orange4} \end{array}\]

Als we een hogeremachtswortel uit een breuk willen trekken, moeten we een getal zoeken dat tot deze macht gelijk is aan het getal binnen de wortel. Voor #\sqrt[\green3]{\orange{\frac{8}{27}}}# geldt dat we een getal zoeken dat tot de macht #\green3# gelijk is aan #\orange{\frac{8}{27}}#. Dit is #\blue{\frac{2}{3}}#, want \[\left(\blue{\frac{2}{3}}\right)^\green3=\frac{\blue2^\green3}{\blue3^\green3}=\orange{\frac{8}{27}}\]

We zien dus:

\[\sqrt[\green3]{\orange{\frac{8}{27}}}=\frac{\sqrt[\green3]{\orange8}}{\sqrt[\green3]{\orange{27}}}=\frac{\blue2}{\blue3}\]

In het algemeen geldt:

De hogeremachtswortel van een breuk is gelijk aan de hogeremachtswortel met dezelfde macht van de teller gedeeld door de hogeremachtswortel met dezelfde macht van de noemer.

Voorbeelden

\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \sqrt[\green4]{\orange{\frac{1}{16}}}&=&\displaystyle \frac{\sqrt[\green4]{\orange1}}{\sqrt[\green4]{\orange{16}}} \\ &=& \displaystyle \blue{\frac{1}{2}} \\ \\ \displaystyle \sqrt[\green5]{\orange{\frac{3}{32}}}&=&\displaystyle \frac{\sqrt[\green5]{\orange3}}{\sqrt[\green5]{\orange{32}}} \\ &=& \displaystyle \frac{\blue{\sqrt[\green5]{3}}}{\blue2} \\ \\ \displaystyle \sqrt[\green3]{\orange{\frac{2}{5}}}&=&\displaystyle \frac{\blue{\sqrt[\green3]{2}}}{\blue{\sqrt[\green3]{5}}} \end{array}\]