Om te kunnen werken met functies die het aan- of uitgaan van een schakelaar vertegenwoordigen, definiëren we de volgende functies.
De eenheidsstapfunctie, of Heaviside-functie, is de reële functie #u# gedefinieerd door
\[u(x) = \begin{cases} 0 & \text{als } x \lt 0 \\ 1 & \text{als } x \ge 0 \end{cases}\]
Dit is een stuksgewijze continue functie.
Laat #c# een reëel getal getal zijn. De verschoven functie #u_c(x) = u(x-c)# wordt ook wel een eenheidsstapfunctie of Heaviside-functie genoemd; deze voldoet aan
\[u_c(x) = \begin{cases} 0 & \text{als } x \lt c \\ 1 & \text{als } x \ge c \end{cases} \]
We schrijven vaak #t# als argument voor een functie met domein #t\ge 0#. De eenheidsstapfunctie #u_{-1}(t)# is dus de functie die constant #1# is op #\ivco{0}{\infty}# terwijl #u_{-1}(x)# de functie met domein #\mathbb{R}# is die een sprong maakt (ofwel een discontinuïteit heeft) in #-1#.
Een negatieve eenheidsstapfunctie kan beschreven worden door \(1-u_c(t)\)
De functie \(u_{\pi}-u_{2\pi}\) schakelt in bij #t=\pi# en uit bij #t=2\pi#.
De eenheidsstapfunctie kan gecombineerd worden met een andere functie #f# om delen van die functie te doen verdwijnen. Zo is de functie #g(t) = u(t-c)\cdot f(t-c)# te beschrijven door
\[g(t ) =\begin{cases} 0 &\text{als } t\lt c\\ f(t-c)&\text{als }t\ge c\end{cases}\]
Andersom kunnen eenheidsstapfuncties gebruikt worden om het functievoorschrift van een stuksgewijs continue functie compact op te schrijven.
De #u# in de notatie is de beginletter van de tegenwoordig veel gebruikte benaming unit step function.
De schrijfwijze #H_c# voor #u_c# komt ook veel voor en verwijst naar Heaviside.
De Laplace-getransformeerden van stuksgewijze continue functies kunnen uitgedrukt worden in exponentiële functies en de Laplace-getransformeerden van die continue functies:
Als #c\ge0# en #f# is een functie waarvan de Laplace-getransformeerde bestaat, dan geldt \[ \laplace \left(u_c(t)\cdot f(t-c)\right) = \ee^{-c s}\cdot\laplace(f)\]
In het bijzonder geldt \[\laplace {\left(u_c\right) }(s)= \dfrac{\ee^{-c s}}{s} \]
\[\begin{array}{rcl}\laplace\left(u_c(t)\cdot f(t-c)\right)(s) &=& \int_0^{\infty}\ee^{-st}\cdot u_c(t)\cdot f(t-c)\dd t\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie Laplace-transformatie}}\\ &=& \int_0^c\ee^{-st}\cdot0\cdot f(t-c)\dd t+\int_c^{\infty}\ee^{-st}\cdot f(t-c)\dd t\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie gebruikt van }u_c}\\ &=&\int_c^{\infty}\ee^{-st}\cdot f(t-c)\dd t\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{eerste integrand is gelijk aan }0}\\ &=&\int_0^{\infty}\ee^{-s\cdot (z+c)}\cdot f(z)\dd z\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{substitutie }t=z+c}\\ &=&\ee^{-c\cdot s}\int_0^{\infty}\ee^{-s\cdot z}\cdot f(z)\dd z\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{constante term buiten integraal gehaald}}\\ &=&\ee^{-c\cdot s}\laplace( f)(s)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie Laplace-transformatie}}\end{array}\]
Het bijzondere geval doet zich voor als #f# de constante functie #1# is.
De Laplace-getransformeerde van #u_2(t)\cdot t# kan hiermee als volgt berekend worden:
\[\begin{array}{rcl}\laplace\left(u_2(t)\cdot t\right)(s) &=&\ee^{-2s}\laplace( t+2)(s)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{stelling}}\\ &=&\ee^{-2s}\left(\laplace( t)(s)+\laplace(2)(s)\right)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{lineariteit Laplace-transformatie}}\\ &=&\ee^{-2s}\left(\dfrac{1}{s^2}+\dfrac{2}{s}\right)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{bekende Laplace-getransformeerden}}\\ &=&\ee^{-2s}\left(\dfrac{1+2s}{s^2}\right)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{breuken onder één noemer gebracht}}\end{array}\]
Veel processen waarin een aan/uit stand een rol speelt, kunnen weergegeven worden door lineaire tweede-orde differentiaalvergelijkingen waarin de inhomogene term met behulp van een Heaviside-functie beschreven wordt. De bovenstaande regel maakt het vaak mogelijk de differentiaalvergelijking op te lossen met de Laplace-transformatie. We geven hieronder enkele voorbeelden.
Bereken de Laplace-getransformeerde van de functie \[f(t) = 6 u_{5}(t)- 3 u_{9}(t)\] op #\ivco{0}{\infty}#. Hierbij is #u_c(t)# de Heaviside-functie op #\ivco{0}{\infty}#.
Geef je antwoord als functie van #s# voor #s\gt 0#.
#\laplace{(f)}(s) = # #{{6 \euler^ {- 5 s }-3 \euler^ {- 9 s }}\over{s}}#
Dit is na te gaan met behulp van de
lineariteit van de Laplace-transformatie en de
stelling over de Laplace-getransformeerde van een functie waarin een Heaviside functie voorkomt: \[\begin{array}{rcl} \laplace{(f)}(s) &=&\displaystyle 6\laplace{(u_{5})}(s)- 3\laplace{( u_{9})}(s)\\
&&\phantom{xxxxxxxx1234}\color{blue}{\text{lineariteit van de Laplace-transformatie}}\\
&=&\displaystyle 6\frac{\e^{-5 s}}{s}- 3\frac{\e^{-9 s}}{s}\\
&&\phantom{xxxxxxxx1234}\color{blue}{\laplace {\left(u_c\right) }(s)= \dfrac{\ee^{-c s}}{s}}\\
&=&\displaystyle {{6 \euler^ {- 5 s }-3 \euler^ {- 9 s }}\over{s}}
\end{array}\]
Laplace-getransformeerden van Heaviside functies
