Complexe getallen: Complexe functies
Complexe sinus en cosinus
De goniometrische functies kun je uitdrukken in machten van #\e# met imaginaire exponenten:
Cosinus en sinus in termen van imaginaire machten van e \[\begin{array}{rcl}\cos(\varphi) &=& \frac{\e^{\varphi\cdot\ii}+\e^{-\varphi\cdot\ii}}{2}\\ \sin(\varphi) &=& \frac{\e^{\varphi\cdot\ii}-\e^{-\varphi\cdot\ii}}{2\ii}\end{array}\]
Bewijs: Dubbele toepassing van de formule van Euler geeft:
\[\begin{array}{rcl}\frac{\e^{\varphi\cdot\ii}+\e^{-\varphi\cdot\ii}}{2}&=&\frac{\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\cdot\ii+\cos(-\varphi )+\sin(-\varphi )\cdot\ii}{2}\\&=&\frac{\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\cdot\ii+\cos(\varphi )-\sin(\varphi )\cdot\ii}{2}\\&=&\frac{2\cos(\varphi )}{2}\\&=&\cos(\varphi )\end{array}\]Dit bewijst de eerste gelijkheid. Het bewijs van de tweede gaat net zo.
We gebruiken deze gelijkheden om de sinus en cosinus voor alle complexe getallen #z# te definiëren.
Complexe sinus en cosinus\[\begin{array}{rcl}\cos(z) &=& \frac{1}{2}\Big(\e^{z\cdot\ii}+\e^{-z\cdot\ii}\Big)\\\\ \sin(z) &=& \frac{1}{2\ii}\Big(\e^{z\cdot\ii}-\e^{-z\cdot\ii}\Big)\end{array}\]
Als #z# reëel is, dan laten bovenstaande formules zien dat de waarden die van de bekende sinus en cosinus zijn. Het gaat hier dus inderdaad om een uitbreiding van de definitie van het domein #\mathbb R# van de reële getallen naar het domein #\mathbb C# van de complexe getallen.
Deze functies hebben een paar eigenschappen die bekend zijn van het reële geval. Ten eerste zijn ze ook weer periodiek. Net als in het reële geval heet een complexe functie #f(z)# periodiek met periode #a# als #f(z+a)=f(z)# voor alle #z#.
Periodiciteit van de complexe exponentiële en goniometrische functies
- De complexe exponentiële functie #\exp# is periodiek met periode #2\pi\cdot\ii#.
- De complexe sinus en cosinus, #\sin# en #\cos#, zijn periodiek met periode #2\pi#.
De periodiciteit van de sinus volgt uit de volgende berekening:\[\begin{array}{rcl}\sin(z+2\pi)&=&\frac{1}{2\ii}\left(\e^{(z+2\pi)\cdot\ii}-\e^{-(z+2\pi)\cdot\ii}\right)\\&&\phantom{xyz}\color{blue}{\text{definitie}}\\&=&\frac{1}{2\ii}\left(\e^{z\cdot\ii}-\e^{-z\cdot\ii}\right)\\&&\phantom{xyz}\color{blue}{\text{periodiciteit van }\exp}\\&=&\sin(z) \end{array}\]
Het bewijs dat de cosinus periodiek is met periode #2\pi# gaat net zo.
Ook de volgende bekende formule geldt voor alle complexe getallen.
\[\sin^2 (z)+\cos^2(z)=1\ \ \ \forall z\in \mathbb{C}\tiny.\]
De gelijkheid #\sin^2 (z)+\cos^2 (z)=1# vinden we door de definities van #\sin (z)# en #\cos (z)# in te vullen.
Ook de additieformules blijven gelden. Maar de absolute waarde van de complexe cosinus is niet altijd kleiner dan of gelijk aan 1, zoals voor de reële cosinus.
We moeten de volgende vergelijking met onbekende #z# oplossen:
\[\frac12 \left(\e^{z\cdot\ii}+\e^{-z\cdot\ii}\right) = 9 \tiny .\]Schrijf #w=\e^{z\cdot\ii}#. Dan is #w \neq 0# omdat het bereik van #\exp# gelijk is aan #\mathbb{C}\setminus\{0\}#. Herschrijving van de vergelijking in #w# levert de volgende vergelijking en afleiding van de oplossingen in #w#.
\[\begin{array}{rcl} w+\frac{1}{w} &=& 18\\
w^2-18 w+1&=&0\\ &&\phantom{xyzuvw}\color{blue}{\text{vermenigvuldigd met }w}\\
(w-9)^2&=&80\\ &&\phantom{xyzuvw}\color{blue}{\text{kwadraat afgesplitst}}\\
w&=&9\pm {4\sqrt{5}}\\&&\phantom{xyzuvw}\color{blue}{\text{reële wortel getrokken}}\\
\end{array}
\]
Hieruit volgt
\[\begin{array}{rcl}
\e^{-\Im(z)}&=&\e^{\Re(z\cdot\ii)} = \left| \e^{z\cdot\ii}\right|= |w|=9\pm{4\sqrt{5}}\ ,\ {\rm dus}\\ \Im (z)&=&-\ln (9\pm {4\sqrt{5}})\\ \Re (z)&=&-\Im(z\cdot\ii) =-\arg \left(\e^{z\cdot\ii}\right)=-\arg( w)=0 \pmod{2\pi} ,\ {\rm dus}\\ \Re(z)&=&2k\cdot\pi\phantom{xx}\left( k\in\mathbb{Z}\right)\end{array}\]
De oplossingen van de vergelijking zijn dus\[\begin{array}{rcl}z & =&2k\cdot \pi-\ln (9+4\sqrt{5})\cdot\ii\phantom{xx}\left( k\in\mathbb{Z}\right)\\ &\lor&\\z & =&2k\cdot \pi-\ln (9-4\sqrt{5})\cdot\ii\phantom{xx}\left(k\in\mathbb{Z} \right)\end{array}\]
De absolute waarde van de complexe cosinus is dus niet altijd kleiner dan of gelijk aan 1, zoals voor de reële cosinus.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
