Complexe getallen: Complexe veeltermen
Factorisatie van complexe veeltermen
Gehele getallen kun je ontbinden in priemgetallen. Reële veeltermen kun je ontbinden in irreducibele factoren. Voor complexe veeltermen geldt hetzelfde. Op deze pagina behandelen we de begrippen en stellingen die bekend zijn van het reële geval voor complexe veeltermen.
Irreducibele veeltermen
Een complexe veelterm #f(z)# in #z# van graad #m\ge1# heet ontbindbaar in de factoren #g(z)# en #h(z)# als #f(z) = g(z)\cdot h(z)# en de graad van zowel #g(z)# als #h(z)# kleiner is dan #m#. Een factor als #g(z)# heet een deler van #f#. In dit geval heet #f(z)# reducibel.
Als #f(z)# niet ontbindbaar is, dan heet #f(z)# irreducibel.
Bijvoorbeeld: #z^2+4z+3= (z+1)\cdot(z+3)=\dfrac{1}{2}(2z+2)\cdot(z+3)#. De eerste en de tweede ontbinding lijken erg op elkaar: ze verschillen enkel in een constante factor.
Constante factoren zijn ongelijk #0#, want anders zou de hele veelterm gelijk aan #0# zijn. Daarom kunnen we ze altijd wegdelen. De meest gebruikelijke standaard is om alle factoren de leidende coëfficiënt #1# te geven, zoals in de eerste ontbinding.
Lineaire factoren (die van graad #1#) zijn niet verder te ontbinden. We zullen later zien dat dit, in het geval van complexe veeltermen, de enige zijn met die eigenschap.
De reële veelterm #x^2+4# is geen product van lineaire factoren.
De complexe veelterm #z^2+4# is het product van de twee lineaire factoren #z-2\ii# en #z+2\ii#.
Voor wat betreft de reële veelterm: stel nu eens dat deze wèl een product is van lineaire factoren: #x^2+4 = f(x)\cdot g(x)#, waarbij #f(x)# en #g(x)# veeltermen van graad kleiner dan #2# zijn. Dan moeten beide graad #1# hebben. We kunnen de leidende coëfficiënten van #f(x)# en #g(x)# beide gelijk aan #1# kiezen. Dan zijn er twee getallen #a# en #b#, zodanig dat #f(x)=x-a# en #g(x)=x-b#. De ontbinding kan dus geschreven worden als #x^2+4=(x-a)\cdot(x-b)#. Omdat #(x-a)\cdot (x-b)=x^2-(a+b)\,x+a\cdot b#, volgt hieruit #a+b=0# en #a\cdot b=4#. De eerste vergelijking geeft #b=-a# en invullen van deze waarde voor #b# in #a\cdot b=4# geeft #-a^2 = 4#, een tegenspraak met het feit dat kwadraten nooit negatief zijn. Er is dus geen ontbinding van #x^2+4#.
Voor wat betreft de complexe veelterm: de factoren #z-2\ii# en #z+2\ii# zijn inderdaad lineair en voldoen aan\[(z-2\ii)\cdot(z+2\ii)=z^2-(-2)\cdot2+(2-2)\cdot\ii = z^2+4\tiny.\]
Deling met rest voor complexe veeltermen
Laat #f(z)# een complexe veelterm zijn van graad #m\ge1#, en #g(z)# een complexe veelterm van graad #n#. We kunnen als volgt testen of #g(z)# een deler is van #f(z)#. Geef met #b# de leidende coëfficiënt van #g(z)# aan.
Er bestaan unieke veeltermen #q(z)# en #r(z)# zo dat #f(z) = q(z)\cdot g(z) + r(z)# en de graad van #r(z)# kleiner is dan #n#.
De veeltermen #q(z)# en #r(z)# zijn als volgt te vinden:
- begin met #q(z) =0# en #r(z) = f(z)#;
- verander #q(z)# en #r(z)# als volgt herhaaldelijk zolang de graad #k# van #r(z)# ten minste #n# is, waarbij #a# de leidende coëfficiënt van #r(z)# is:
- tel #\dfrac{a}{b}z^{k-n}# bij #q(z)# op,
- trek het veelvoud #\dfrac{a}{b}z^{k-n}g(z)# van #r(z)# af.
De veelterm #g(z)# is een deler van #f(z)# dan en slechts dan als #r(z) = 0#.
De procedure om quotiënt #q(z)# en rest #r(z)# te vinden is zo gekozen dat, aan het eind van elke stap waarin #q(z)# en #r(z)# veranderen, #f(z) = q(z) g(z) + r(z)# geldt. Bij elke stap gaat de graad van #r(z)# omlaag. Omdat de graad van #r(z)# in het begin de graad van #f(z)# is en per stap ten minste #1# lager wordt, zal de procedure dus nooit meer dan #m# stappen tellen.
Stel dat #q_1(z)# en #r_1(z)# twee veeltermen zijn met #f(z) = q_1(z)\cdot g(z) + r_1(z)#, zodat de graad van #r_1(z)# kleiner dan die van #g(z)# is. Dan hebben we dus #q(z)\cdot g(z)+r(z) = f(z) = q_1(z)\cdot g(z) + r_1(z)#, waaruit volgt dat #(q(z)-q_1(z))\cdot g(z) = r_1(z) - r(z)#. Maar in het rechter lid staat een veelterm van graad kleiner dan de graad van #g(z)#. Dus ook de veelterm in het linker lid heeft graad kleiner dan #g(z)#. Omdat het een veelvoud van #g(z)# is, kan dit alleen als het veelvoud #0# is, dus als #q(z)-q_1(z)= 0#. Dit betekent dat #q_1(z) = q(z)#. Maar dan volgt #0= (q(z)-q_1(z))\cdot g(z) = r_1(z) - r(z)#, dus #r_1(z) = r(z)#. Het quotiënt #q(z)# en de rest #r(z)# zijn dus inderdaad uniek.
Als #r(z) = 0#, dan is #f(z) = q(z)\cdot g(z)# een ontbinding van #f(z)#, dus is #g(z)# een deler van #f(z)#.
Andersom, als #g(z)# een deler van #f(z)# is, dan is er een veelterm #s(z)# met #f(z) = s(z)\cdot g(z) + 0#. Omdat de graad van #0# kleiner is dan de graad van #g(z)#, geeft de uniciteit dat #s(z) =q(z)# en #r(z) = 0#.
Voer daartoe paren #\rv{q(x),r(x)}# in die voldoen aan #f(x) = q(x)\cdot g(x) + r(x)# en waarvan de graad van #r(x)# steeds kleiner wordt.
Immers, het recept van de theorie volgend, beginnen we met #q(x) =0# en \[r(x) = f(x) = 3 x^3-5 x^2+15 x-7\] De graad van #r(x)# is groter dan #2#, de graad van #g(x)=x^2-x+4#. Daarom trekken we #3 x\cdot g(x)# af van #r(x)# en tellen we #3 x# op bij #q(x)#. Dit geeft \[\rv{q(x),r(x)} = \rv{3 x,-2 x^2+3 x-7}\]Omdat de graad van #r(x)# nog niet kleiner dan #2# is, herhalen we dit proces: we trekken #-2\cdot g(x)# af van #r(x)# en tellen #-2# op bij #q(x)#. Dit geeft \[\rv{q(x),r(x)} = \rv{3 x-2,x+1}\] Nu is de graad van #r(x)# wel kleiner dan #2#. De conclusie is dat we de gevraagde #q(x)# en #r(x)# gevonden hebben.
Omdat #r(x)\ne0#, is #g(x)# geen deler van #f(x)#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
