Als een deelruimte van een vectorruimte het opspansel is van twee onafhankelijke stellen vectoren, dan is het aantal vectoren in beide stelsels gelijk. Dit aantal zullen we de dimensie van de ruimte noemen. We leiden de genoemde eigenschap af uit het volgende resultaat.
Laat #m# en #n# natuurlijke getallen zijn, #V# een vectorruimte, en #\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n#, #\vec{b}_1,\ldots ,\vec{b}_m# vectoren van #V#, zodanig dat
- #V= \linspan{\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n }# en
- #\vec{b}_1 ,\ldots ,\vec{b}_m# een onafhankelijk stel vectoren is.
Dan geldt:
- #m\leq n#.
- Als #V# ook het opspansel is van #\vec{b}_1 ,\ldots ,\vec{b}_m#, dan geldt #m=n#.
Bewijs van de eerste uitspraak: De vector #\vec{b}_1# is een lineaire combinatie van #\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n #. Omdat #\vec{b}_1# niet de nulvector is, is een van de scalairen in de lineaire combinatie ongelijk aan nul en kunnen we op grond van de Uitwisselingsstelling de vector #\vec{b}_1 # uitwisselen tegen één van de vectoren #\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n # zonder dat het opspansel verandert. Omdat we de volgorde van de vectoren #\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n# kunnen veranderen (zie de theorie Standaardbewerkingen met opspannende stellen), mogen we aannemen dat we #\vec{b}_1# kunnen uitwisselen met #\vec{a}_1#. Zodoende vinden we
\[ V=\ \linspan{\vec{b}_1 ,\vec{a}_2 ,\ldots ,\vec{a}_n } \]De vector #\vec{b}_2# is een lineaire combinatie van deze vectoren. Er is zeker een scalar in deze lineaire combinatie die ongelijk aan nul is en bij één van #\vec{a}_2 ,\ldots ,\vec{a}_n # hoort, want anders was #\vec{b}_2# afhankelijk van #\vec{b}_1#. Nu kunnen we, weer wegens de Uitwisselingsstelling, de vector #\vec{b}_2 # uitwisselen tegen één van de vectoren #\vec{a}_2 ,\ldots ,\vec{a}_n #. We mogen (na eventuele hernummering) weer aannemen dat we #\vec{b}_2# kunnen uitwisselen tegen #\vec{a}_2#, zodat\[ V=\ \linspan{\vec{b}_1 ,\vec{b}_2 ,\vec{a}_3 ,\ldots ,\vec{a}_n } \]We gaan zo verder; wegens de Uitwisselingsstelling moet elk van de vectoren #\vec{b}_1 ,\ldots ,\vec{b}_m # kunnen worden uitgewisseld zodat op den duur\[V=\ \linspan{\vec{b}_1 ,\ldots,\vec{b}_m ,\vec{a}_{m+1} ,\ldots ,\vec{a}_n } \]Hieruit concluderen we dat #m\leq n#.
Bewijs van de tweede uitspraak: Pas de eerste uitspraak toe op het onafhankelijke stelsel #\vec{b}_1 ,\ldots ,\vec{b}_m# in #\linspan{\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n }# om te concluderen dat #m\leq n#. Pas de eerste uitspraak vervolgens toe op het onafhankelijke stelsel #\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n# in #\linspan{\vec{b}_1 ,\ldots ,\vec{b}_m }#; nu vinden we #n\leq m#. We concluderen dat #m=n#.
Dit resultaat rechtvaardigt de volgende definitie van dimensie:
Een onafhankelijk stelsel dat een vectorruimte #V# opspant, heet een basis van #V#.
Het aantal elementen in een basis heet de dimensie van #V# en wordt genoteerd als #\dim{V}#.
Als #V# de nulruimte is, dan is de dimensie #0#. Als er geen eindig aantal opspannende vectoren voor #V# is, dan is de dimensie oneindig, en schrijven we #\dim{V}=\infty#.
Voor elk natuurlijk getal #n# is het stel vectoren in #\mathbb{R}^n# \[\vec{e}_1 =\rv{1,0,0,\ldots ,0},\phantom{x}
\vec{e}_2 =\rv{0,1,0,\ldots ,0},\phantom{x}\ldots,\phantom{x}\vec{e}_n =\rv{0,0,0,\ldots ,1}\]een basis van #\mathbb{R}^n#; het heet wel de standaardbasis van #\mathbb{R}^n#. Bijgevolg is #\dim{\mathbb{R}^n}=n#. Net zo is #\dim{\mathbb{C}^n}=n#. Ook daar gebruiken we de naam standaardbasis.
In het geval #V=\{ \vec{0}\}# is #V# het opspansel van nul vectoren. Daarom is de dimensie van deze vectorruimte gelijk aan nul.
De vectoren #\vec{e}_1 , \ldots , \vec{e}_n# vormen een onafhankelijk stel dat #\mathbb{R}^n# opspant: iedere vector #\rv{x_1, x_2,\ldots ,x_n}# is namelijk te schrijven als de lineaire combinatie #x_1 \vec{e}_1 + \cdots + x_n \vec{e}_n#. De onafhankelijkheid hebben we al eerder vastgesteld. Daarom is #\basis{\vec{e}_1 , \ldots , \vec{e}_n}# een basis van #\mathbb{R}^n#. Omdat hun aantal #n# is, geldt #\dim{\mathbb{R}^n}=n#.
De vectorruimte #P# van alle veeltermen in #x# heeft basis #\basis{1,x,x^2,\ldots}# en heeft oneindige dimensie. Immers: als er een eindig aantal machten van #x# zou zijn waarvoor een niet-triviale lineaire combinatie gelijk aan #\vec{0}# zou zijn, dan zou de coëfficiënt van de hoogste macht van #x# die voorkomt gelijk aan #0# moeten zijn, omdat die maar één keer in de lineaire combinatie voorkomt. Maar dat betekent dat die hoogste macht niet in de lineaire combinatie voorkomt, een tegenspraak.
Er wordt genoemd dat de dimensies van #\mathbb{R}^n# en #\mathbb{C}^n# gelijk zijn, dit voelt natuurlijk niet intuïtief, omdat er veel meer complexe getallen zijn dan reeële getallen. Het verschil zit 'm in de scalairen waarmee je vermenigvuldigt. De vectorruimte #\mathbb{C}^n# is een vectorruimte over #\mathbb{C}#, en #\mathbb{R}^n# over #\mathbb{R}#, daarom zijn de dimensies gelijk.
De volgende eigenschappen zijn van nut voor het bepalen van de dimensie.
Als #V# een vectorruimte is met #\dim{V} =n\lt\infty#, dan bestaat iedere basis van #V# uit precies #n# vectoren. Laat #\vec{b}_1 ,\ldots ,\vec{b}_m# een stel vectoren in #V# zijn.
- Als #m\lt n#, dan is #\linspan{\vec{b}_1 ,\ldots ,\vec{b}_m }# een echte deelruimte van #V#.
- Als #m\gt n#, dan is het stel #\vec{b}_1 ,\ldots ,\vec{b}_m# afhankelijk.
- Als #m=n#, dan is het stel #\vec{b}_1 ,\ldots ,\vec{b}_m# een basis voor #V# dan en slechts dan als het stelsel onafhankelijk is.
1. Als #\linspan{\vec{b}_1 ,\ldots ,\vec{b}_m }# gelijk zou zijn aan #V#, dan zou er door uitdunnen van het stel #\vec{b}_1 ,\ldots ,\vec{b}_m# een basis van hoogstens #m# elementen voor #V# ontstaan, zodat #n=\dim{V}\le m#, in tegenspraak tot #m\lt n#.
2. Dit volgt direct uit bovenstaande stelling over het aantal opspannende vectoren.
3. Als het stelsel afhankelijk is, dan wordt #\linspan{\vec{b}_1 ,\ldots ,\vec{b}_m }# opgespannen door minder dan #m=n# vectoren en is #\linspan{\vec{b}_1 ,\ldots ,\vec{b}_m }# een echte deelruimte van #V# wegens onderdeel 1. Als #\vec{b}_1 ,\ldots ,\vec{b}_n# onafhankelijk zijn en niet gelijk aan #V#, dan is er een #\vec{a} \in V# met #\vec{a}\not\in\linspan{\vec{b}_1 ,\ldots ,\vec{b}_n }#, zodat #\vec{b}_1 ,\ldots ,\vec{b}_n ,\vec{a}# een onafhankelijk stel vectoren in #V# zou zijn met meer dan #n# elementen. Daarom geldt #\linspan{\vec{b}_1 ,\ldots ,\vec{b}_n }=V# en is #\basis{\vec{b}_1 ,\ldots ,\vec{b}_n}# een basis voor #V#.
De derde uitspraak is een direct gevolg van de uitspraken 1 en 2.
Als #n=\dim{V}=\infty# dan geldt de eerste uitspraak nog steeds, maar de derde niet.
De eerste uitspraak geldt omdat #m# eindig is als #m\lt\infty# en #V# per definitie niet opgespannen wordt door eindig veel vectoren.
De derde uitspraak is in het algemeen niet waar, zoals het volgende tegenvoorbeeld laat zien: Als #V # de vectorruimte is van veeltermen in #x#, dan is #x#, #x^2#, #x^3,\ldots# een rij van #m=\infty# lineair onafhankelijke vectoren die de deelruimte van #V# opspannen die bestaat uit alle veeltermen die #0# in #0# zijn. Deze rij heeft dus evenveel vectoren als #n# (namelijk #\infty#) maar spant #V# niet op.
Wat is de dimensie van het vlak #\mathbb{E}^2 # en van de ruimte #\mathbb{E}^3#?
#\dim{\mathbb{E}^2}=2# en #\dim{\mathbb{E}^3}=3#
Kies twee vectoren in #\mathbb{E}^2# die beide ongelijk aan de nulvector zijn en geen scalair veelvoud van elkaar zijn. Dan is elke andere vector in het vlak te schrijven als lineaire combinatie van deze twee (dit is vooral bekend voor de twee vectoren die in een assenstelsel coördinaten #\rv{1,0}# en #\rv{0,1}# gekregen hebben). Bovendien zijn de twee lineair onafhankelijk. Uit deze twee feiten concluderen we dat ze een basis vormen.
De redenering voor #\mathbb{E}^3# gaat net zo.