De begrippen rechte, vlak en lineaire deelruimte vallen alledrie onder het volgende, meer algemene begrip. Dit begrip, affiene deelruimte, blijkt de meetkundige tegenhanger van een stelsel lineaire vergelijkingen te zijn.
Laat #V# een vectorruimte zijn. Een affiene deelruimte van #V# is een deelverzameling van de vorm\[\left\{\vec{a}+\vec{w}\mid \vec{w}\in W\right\}\]waarbij #W# een lineaire deelruimte van #V# is en #\vec{a}# een vector van #V#. Deze affiene deelruimte wordt vaak aangegeven met \[\vec{a}+W \]
De vector #\vec{a}# heet een steunvector van de affiene deelruimte; de deelruimte #W# heet de richtingsruimte van de affiene ruimte.
Elke lineaire deelruimte #W# van #V# is ook een affiene deelruimte, omdat het in de vorm #\vec{0}+W# geschreven kan worden.
Een lijn #L# in #V# is gedefinieerd als de verzameling vectoren van de vorm #\vec{a}+\lambda\cdot \vec{v}# voor vast gekozen vectoren #\vec{a}# en #\vec{v}#. De verzameling #W# van alle scalaire veelvouden van # \vec{v}# is een lineaire deelruimte van #V#, dus de lijn #L=\vec{a}+W# is een affiene deelruimte van #V#.
Net zo is een vlak #M# in #V# een affiene deelruimte van #V#: de verzameling #M# bestaat uit alle vectoren van de vorm #\vec{a}+\lambda\cdot \vec{v}+\mu\cdot\vec{w}# voor vast gekozen vectoren #\vec{a}#, #\vec{v}# en #\vec{w}# (zodanig dat #\vec{v}# en #\vec{w}# geen scalair veelvoud van elkaar zijn). De verzameling #U=\lambda\cdot \vec{v}+\mu\cdot\vec{w}# is weer een lineaire deelruimte van #V#, dus het vlak #M=\vec{a}+U# is een affiene deelruimte van #V#.
De term steunvector van de parametervoorstelling van een lijn of een vlak komt overeen met de term steunvector van de bijbehorende affiene deelruimte. Dus ook hier is de steunvector niet uniek: elke vector in de affiene deelruimte kan dienen als steunvector.
De richtingsvectoren van een rechte of vlak behoren tot de lineaire deelruimte. Andersom: als #L=\vec{a}+W# een lijn is, dan is elke vector van #W# die ongelijk aan #\vec{0}# is, een richtingsvector van #L#; als #M=\vec{a}+U# een vlak is, dan is elk tweetal vectoren van #U# dat geen scalair veelvoud van elkaar is, een stel richtingsvectoren voor #M#.
Als #\vec{a}# niet tot #W# behoort, dan is de affiene deelruimte \(\vec{a}+W\) geen lineaire deelruimte (want #\vec{0}# behoort dan en slechts dan tot #\vec{a}+W# als #\vec{0}=\vec{a}+\vec{w}# voor een vector #\vec{w}# in #W#, dus dan en slechts dan als #\vec{w}=-\vec{a}# tot #W# behoort; maar dat is niet het geval omdat #\vec{a}# niet tot #W# behoort).
Als twee affiene deelruimten van een vectorruimte dezelfde richtingsruimte hebben, dan gedragen ze zich als parallelle lijnen: ze vallen samen of hebben geen enkel punt gemeen. Dit is een speciaal geval van de volgende stelling.
Laat #V# een vectorruimte zijn met lineaire deelruimten #U# en #W#, en vectoren #\vec{a}# en #\vec{b}#. Dan geldt:
\[\left(\vec{a}+U\right)\cap \left(\vec{b}+W\right)=\begin{cases}\vec{c}+U\cap W&\text{als er vectoren }\vec{u}\in U\text{ en }\vec{w}\in W\\ &\text{ bestaan met }\vec{a}-\vec{b}=\vec{w}-\vec{u}\\&\text{ in welk geval }\vec{c}=\vec{a}+\vec{u}\\ \emptyset&\text{anders}
\end{cases}\]
We zullen het bewijs geven voor het geval #U=W#. Het bewijs van het algemene geval is niet veel moeilijker en is in een opgave verwerkt.
We gebruiken het feit dat een vector #\vec{v}# van #V# dan en slechts dan tot #W# behoort als #\vec{v}+W=W#.
Deze uitspraak is af te leiden via de volgende stappen, waarbij #\Leftrightarrow# staat voor "dan en slechts dan als":\[\begin{array}{rcl}\vec{v}\in W&\Leftrightarrow &\text{Voor elke } \vec{w}\in W\text{ is er een vector }\vec{u}\text{ in }W\text{ zo dat }\vec{v}=\vec{w}-\vec{u}\\&\Leftrightarrow &\text{Voor elke } \vec{w}\in W\text{ is er een vector }\vec{u}\text{ in }W\text{ zo dat }\vec{v}+\vec{u}=\vec{w}\\&\Leftrightarrow &W\subseteq \vec{v}+W\end{array}\]Omdat #\vec{v}\in W# dan en slechts dan als #-\vec{v}\in W#, volgt uit de zojuist afgeleide uitspraak ook \[\vec{v}\in W\Leftrightarrow W\subseteq -\vec{v}+W\]en dus ook \[\vec{v}\in W\Leftrightarrow \vec{v}+W\subseteq W\]We concluderen dat #\vec{v}\in W# dan en slechts dan als #W\subseteq\vec{v}+W# en #\vec{v}+W\subseteq W#, wat weer equivalent is met #W=\vec{v}+W#. Hiermee is het te gebruiken feit bewezen.
We beginnen nu met het eigenlijke bewijs door te veronderstellen: #\vec{a}-\vec{b}\in W#. Dan geldt #\vec{a}-\vec{b}+ W=W#. Door #\vec{b}# bij elk element van de verzamelingen links en rechts op te tellen, concluderen we hieruit #\vec{a}+W=\vec{b}+W#. Dit bewijst de gelijkheid in de stelling in het geval #\vec{a}-\vec{b}\in W#.
Voor het bewijs van de gelijkheid in het tweede geval veronderstellen we #\vec{a}-\vec{b}\not\in W#. We moeten bewijzen dat geen enkele vector tot #\left(\vec{a}+W\right)\cap \left(\vec{b}+W\right)# behoort. Stel #\vec{v}# ligt in deze verzameling. Dan zijn er dus vectoren #\vec{p}# en #\vec{q}# in #W#, zodat \[\vec{v}=\vec{a}+\vec{p}=\vec{b}+\vec{q}\]Herschrijven we de tweede gelijkheid als\[\vec{a}-\vec{b}=\vec{q}-\vec{p}\]dan zien we dat #\vec{a}-\vec{b}# tot #W# behoort, omdat dit zo is voor de lineaire combinatie # \vec{q}-\vec{p}# van de twee vectoren #\vec{p}# en #\vec{q}# in #W#. Maar dit is in tegenspraak met de veronderstelling #\vec{a}-\vec{b}\not\in W#. We concluderen dat er geen vector #\vec{v}# bestaat in #\left(\vec{a}+W\right)\cap \left(\vec{b}+W\right)#; met andere woorden: deze doorsnee is leeg.
Nemen we #U=W#, dan geeft de stelling \[\left(\vec{a}+W\right)\cap \left(\vec{b}+W\right)=\begin{cases}\vec{a}+W&\text{als }\vec{a}-\vec{b}\in W\\ \emptyset&\text{anders}\\ \end{cases}\]We zien dus dat twee affiene deelruimten met dezelfde richtingsruimte hetzij samenvallen hetzij lege doorsnede hebben.
De oplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen is een affiene deelruimte, die een lineaire deelruimte is als het stelsel homogeen is:
Bekijk de volgende algemene vorm van een stelsel van \(m\) lineaire vergelijkingen met \(n\) onbekenden \(x_1, \ldots, x_n\): \[\left\{\;\begin{array}{rclllllll} a_{11}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{12}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{1n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_1\\ a_{21}x_1 \!\!&+&\!\! a_{22}x_2 \!\!&+&\!\! \cdots \!\!&+&\!\! a_{2n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_2\\ \vdots &&\vdots &&&& \vdots&&\!\!\!\!\vdots\\ a_{m1}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{m2}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{mn}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_m\end{array}\right.\] Hierbij zijn alle \(a_{ij}\) en \(b_i\) met \(1\le i\le m, 1\le j\le n\) reële getallen.
We brengen in herinnering dat dit stelsel in het algemeen inhomogeen heet, en homogeen als de constante termen #b_1,\ldots,b_m# alle gelijk aan #0# zijn. Het stelsel vergelijkingen dat uit een inhomogeen stelsel wordt verkregen door de rechter zijden door nul te vervangen, heet het bijbehorende homogene stelsel.
We kunnen de oplossing van het stelsel vergelijkingen interpreteren in de vectorruimte #\mathbb{R}^n# door #\rv{x_1,\ldots,x_n}# als een algemene vector van #\mathbb{R}^n# te zien. Zo kunnen de oplossingen van het stelsel vergelijkingen gezien worden als een deelverzameling #S# van #\mathbb{R}^n#.
Als #\rv{x_1,\ldots,x_n}=\vec{c}# een oplossing is van het stelsel vergelijkingen en #W# de lineaire deelruimte is die bestaat uit de oplossingen van het bijbehorende homogene stelsel, dan is de oplossingsverzameling van het stelsel de affiene deelruimte \[\vec{c}+W\]
In theorie Het begrip lineaire deelruimte staat dat de oplossingsverzameling van een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen een lineaire deelruimte is. Dit verklaart dat #W# een lineaire deelruimte is.
Om in te zien waarom de stelling waar is, behandelen we het geval #m=1#. Het algemene geval is niet wezenlijk moeilijker.
De bewering komt erop neer dat #\vec{x}=\rv{x_1,\ldots,x_n}# dan en slechts dan een oplossing is van \[a_{11}x_1 +a_{12}x_2+ \cdots + a_{1n}x_n=b_1\] als de vector #\vec{w}=\rv{w_1,\ldots,w_n}#, bepaald door #\vec{x}=\vec{c}+\vec{w}#, tot #W# behoort. Dit volgt uit de volgende stapsgewijze herschrijving van de vergelijking in #\vec{x}# tot een vergelijking in termen van #\vec{w}#:\[\begin{array}{rcl}a_{11}x_1 +a_{12}x_2+ \cdots + a_{1n}x_n&=&b_1\\ a_{11}\left(c_1+w_1\right)+a_{12}\left(c_2+w_2\right)+ \cdots + a_{1n}\left(c_n+w_n\right)&=&b_1\\ \left( a_{11}c_1+a_{12}c_2+ \cdots + a_{1n}c_n\right)+\left( a_{11}w_1+a_{12}w_2+ \cdots + a_{1n}w_n\right)&=&b_1\\ b_1+\left( a_{11}w_1+a_{12}w_2+ \cdots + a_{1n}w_n\right)&=&b_1\\ a_{11}w_1+a_{12}w_2+ \cdots + a_{1n}w_n&=&0\end{array}\]
Een andere manier om in te zien dat de oplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen een affiene deelruimte is, gebruikt het feit dat de algemene oplossing gegeven kan worden door een parametervoorstelling \[ \vec{a}+\lambda_1\cdot\vec{v}_1+\cdots+\lambda_k\cdot\vec{v}_k\] met parameters \(\lambda_1,\ldots,\lambda_k\). Zo'n parametervoorstelling beschrijft een affiene deelruimte: het steunpunt is de vector #\vec{a}# en de lineaire combinaties #\lambda_1\cdot\vec{v}_1+\cdots+\lambda_k\cdot\vec{v}_k#, waarbij #\lambda_1,\ldots,\lambda_k# alle waarden doorlopen, vormen een lineaire deelruimte #W#, zoals we later zullen zien. De parametervoorstelling beschrijft dus de affiene ruimte #\vec{a}+W#.
In de vectorruimte #\mathbb{R}^4# bekijken we de lineaire deelruimte \[W=\left\{\rv{x,y,z,u}\mid 3\cdot x+2\cdot y+ z- u=0\right\}\]en de vectoren
\[\vec{a} = \rv{ -5 , -3 , -2 , -30 } \phantom{xxx}\text{en}\phantom{xxx}\vec{b} = \rv{ 5 , -2 , -2 , 2 } \]
Zijn de twee affiene deelruimten #\vec{a}+W# en #\vec{b}+W# gelijk?
Ja
Volgens de theorie geldt immers #\vec{a}+W=\vec{b}+W# dan en slechts dan als \[\vec{a}-\vec{b}\in W\] terwijl #\vec{a}-\vec{b}=\rv{-10,-1,0,-32}#. We concluderen dat de gelijkheid dan en slechts dan geldt als\[ 3\cdot(-10)+2\cdot(-1)+1\cdot(0)-1\cdot(-32)=0\]Het linker lid heeft de waarde #0#, dus het antwoord is: Ja.
Affiene deelruimten
