Complexe conjugatie

Complexe getallen: Rekenen met complexe getallen

Complexe conjugatie

In de theorie over het quotiënt zagen we dat een noemer van de vorm #a+b\,\ii# weggewerkt kan worden door teller en noemer met #a-b\,\ii# te vermenigvuldigen. Deze aanpak werkt vanwege het merkwaardige product #(a+b\,\ii)\cdot(a-b\,\ii)=\left|a+b\,\ii\right|^2#. Niet alleen de vermenigvuldiging met #a-b\,\ii# levert een reëel getal op, ook de optelling: #(a+b\,\ii) + (a-b\,\ii)=2a#. Reden genoeg om #a-b\,\ii# een speciale naam te geven.

De complex geconjugeerde
Als #z=a+b\,\ii# met #a,b\in\mathbb{R}# een complex getal is, dan heet #a-b\,\ii# de complex geconjugeerde van #z#.

Dit getal wordt genoteerd als #\overline{z}#.

Interpretatie

Complex conjugeren is dus spiegelen van het complexe vlak ten opzichte van de reële as.

De complex geconjugeerde van #\ii# is #-\ii#, de andere oplossing van de vergelijking #x^2=-1#.

GeconjugeerdeOmdat er meerdere begrippen in de wiskunde zijn met de naam geconjugeerde, wordt #a-b\,\ii# de complex geconjugeerde van #a+b\,\ii# genoemd. Als er geen verwarring denkbaar is, spreken we ook wel gewoon van geconjugeerde.

De volgende rekenregels laten zien hoe makkelijk het reële en imaginaire deel uit te drukken zijn in termen van #z# en zijn complex geconjugeerde #\overline z#.

Rekenregels voor de complex geconjugeerde

Voor alle complexe getallen #z# en #w# gelden de volgende eigenschappen:\[ \begin{array}{rclcrcl}
\Re (\overline{z}) & = & \Re (z)&\phantom{quadquad}&
\Im (\overline{z}) & = & -\,\Im (z)\\
\Re (z) & = & \frac{1}{2}(z+\overline{z})&&
\Im (z) & = & \frac{1}{2\ii}(z-\overline{z}) \\
|\overline{z}| & = & |{z}|&&
\arg (\overline{z}) & = & -\,\arg (z)\phantom{x}\pmod {2\pi}\\
\overline{z+w} & = & \overline{z}+\overline{w}&&
\overline{z\cdot w} & = & \overline{z}\cdot \overline{w}\\
z+\overline{z} & = & 2\,\Re (z)&&
z \cdot \overline{z} & = & |z|^2
\end {array}
\]

Bovendien voldoet elk complex getal #z# aan de volgende kwadratische vergelijking met reële coëfficiënten #a=\Re(z)# en #r=|z|^2#:\[z^2-2\,a\cdot z+ r=0\]

Elk van deze eigenschappen kan eenvoudig nagegaan worden, meetkundig of door de getallen uit te schrijven in de standaardvorm. We behandelen, bij wijze van voorbeeld, het geval #z \cdot \overline{z} = |z|^2#. Als we #z=a+b\ii# schrijven, dan vinden we \[ z\cdot \overline{z} =(a+b\ii)\cdot(a-b\ii)=a^2-b^2(\ii)^2=a^2+b^2=|z|^2\] het kwadraat van de afstand van #z# tot #0#.

De afleiding van de kwadratische vergelijking uit de twee laatste regels, #z+\overline{z} = 2\Re (z)# en #z \cdot \overline{z} = |z|^2#, is niet moeilijk:

\[\begin{array}{rcl}z^2-2\,a\cdot z+ r&=&z^2-2\cdot\Re(z)\cdot z+|z|^2\\&&\phantom{xyzuvw}\color{blue}{\text{definities }a\text{ en } r}\\ &=&z^2-2\cdot\frac{1}{2}(z+\overline{z})\cdot z+z\cdot{\overline z}\\&&\phantom{xyzuvw}\color{blue}{\text{rekenregels geconjugeerde}}\\ &=&z^2-z^2-\overline{z}\cdot z+z\cdot{\overline z}\\&&\phantom{xyzuvw}\color{blue}{\text{haakjes weggewerkt}}\\ &=&0\end{array}\]

De inverse van een complex getal dat ongelijk aan #0# is, kan kort beschreven worden met de complex geconjugeerde.

Regel voor de inverse van een complex getal

Voor elk complex getal #z# dat ongelijk is aan #0# geldt:\[\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}\]

Als we beide zijden van de regel #z \cdot \overline{z} = |z|^2# delen door #z\cdot{|z|^2}#, dan krijgen we\[\frac{\overline{z}}{|z|^2}=\frac{1}{z}\]Dit is de af te leiden gelijkheid van achter naar voren gelezen.

De formule volgt ook uit de inverse in Cartesische coördinaten. Schrijf #z=a+b\ii#, waarbij #a# en #b# reële getallen zijn. Omdat #z\ne0#, is ten minste één van #a# en #b# niet nul. Dan volgt
\[
\frac{1}{z}=\frac{a-b\ii}{a^2+b^2}=\frac{\overline z}{|z|^2}
\]

Meetkunde

Meetkundig vinden we #\frac{1}{z}# door #z# eerst te spiegelen om de #x#-as en dan door #|z|^{2}# te delen.

Gegeven is het complexe getal \(z=-1+4\,\mathrm{i}\). Schrijf \[\frac{1}{2}(z+\overline{z})\] in de standaardvorm.

\(\frac{1}{2}(z+\overline{z})=\) #-1#

We bespreken twee manieren om dit aan te tonen.

Ten eerste een directe berekening: omdat \(\overline{z}=-1-4\,\mathrm{i}\) geldt \[\frac{1}{2}(z+\overline{z})=\frac{1}{2}\!(-1+4\,\mathrm{i}-1-4\,\mathrm{i})=-1\tiny.\]
Ten tweede een formule uit de theorie: #\frac{1}{2}(z+\overline{z})=\Re(z)=\Re(-1+4\,\mathrm{i})=-1#.

Nieuw voorbeeld