Complexe getallen: Rekenen met complexe getallen
Complexe conjugatie
In de theorie over het quotiënt zagen we dat een noemer van de vorm #a+b\,\ii# weggewerkt kan worden door teller en noemer met #a-b\,\ii# te vermenigvuldigen. Deze aanpak werkt vanwege het merkwaardige product #(a+b\,\ii)\cdot(a-b\,\ii)=\left|a+b\,\ii\right|^2#. Niet alleen de vermenigvuldiging met #a-b\,\ii# levert een reëel getal op, ook de optelling: #(a+b\,\ii) + (a-b\,\ii)=2a#. Reden genoeg om #a-b\,\ii# een speciale naam te geven.
De complex geconjugeerde
Als #z=a+b\,\ii# met #a,b\in\mathbb{R}# een complex getal is, dan heet #a-b\,\ii# de complex geconjugeerde van #z#.
Dit getal wordt genoteerd als #\overline{z}#.
De volgende rekenregels laten zien hoe makkelijk het reële en imaginaire deel uit te drukken zijn in termen van #z# en zijn complex geconjugeerde #\overline z#.
Rekenregels voor de complex geconjugeerde
Voor alle complexe getallen #z# en #w# gelden de volgende eigenschappen:\[ \begin{array}{rclcrcl}
\Re (\overline{z}) & = & \Re (z)&\phantom{quadquad}&
\Im (\overline{z}) & = & -\,\Im (z)\\
\Re (z) & = & \frac{1}{2}(z+\overline{z})&&
\Im (z) & = & \frac{1}{2\ii}(z-\overline{z}) \\
|\overline{z}| & = & |{z}|&&
\arg (\overline{z}) & = & -\,\arg (z)\phantom{x}\pmod {2\pi}\\
\overline{z+w} & = & \overline{z}+\overline{w}&&
\overline{z\cdot w} & = & \overline{z}\cdot \overline{w}\\
z+\overline{z} & = & 2\,\Re (z)&&
z \cdot \overline{z} & = & |z|^2
\end {array}
\]
Bovendien voldoet elk complex getal #z# aan de volgende kwadratische vergelijking met reële coëfficiënten #a=\Re(z)# en #r=|z|^2#:\[z^2-2\,a\cdot z+ r=0\]
De inverse van een complex getal dat ongelijk aan #0# is, kan kort beschreven worden met de complex geconjugeerde.
Regel voor de inverse van een complex getal
Voor elk complex getal #z# dat ongelijk is aan #0# geldt:\[\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}\]We bespreken twee manieren om dit aan te tonen.
Ten eerste een directe berekening: omdat \(\overline{z}=-1-4\,\mathrm{i}\) geldt \[\frac{1}{2}(z+\overline{z})=\frac{1}{2}\!(-1+4\,\mathrm{i}-1-4\,\mathrm{i})=-1\tiny.\]
Ten tweede een formule uit de theorie: #\frac{1}{2}(z+\overline{z})=\Re(z)=\Re(-1+4\,\mathrm{i})=-1#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.