Complexe getallen: Complexe veeltermen
Nulpunten van complexe veeltermen
We onderzoeken nu in het algemeen de nulpunten van een complexe veelterm.
Lineaire factoren van veeltermen corresponderen met nulpunten
Als #p(z)# een complexe veelterm in #z# is van graad #n# en #a# een complex getal is dat nulpunt van #p(z)=0# is, dan heeft #p(z)# een factor #z-a #; dat wil zeggen: er bestaat een veelterm #q(z)# van graad #n-1# die voldoet aan\[p(z)=(z-a)\cdot q(z)\tiny.\]
Bewijs: Voor iedere keuze van #a# kunnen we #p(z)# delen door #z-a#. We vinden dan een quotiënt #q(z)# en een rest #r(z)#:\[
p(z)=(z-a )\cdot q(z)+r(z)\tiny.
\]Omdat de rest graad kleiner dan #1# heeft, is het een complex getal #r#. Nu is #p(a)=0#, zodat
\[
0=p(a)=(a-a)\cdot q(a)+r=0\cdot q(a)+r=r\tiny,
\]
dus #r=0#. We concluderen dat \[
p(z)=(z-a)\cdot q(z)\tiny,
\]zoals te bewijzen was.
Als #p(a)=0#, dan kan #p(z)# geschreven worden als #(z-a)\cdot q(z)#. Als #q(a)=0#, dan bevat ook #q(z)# een factor #(z-a)#, en geldt dus\[p(z)=(z-a)^2\cdot r(z)\,,\ \ \text{enzovoorts}\]
Een complex getal #a# heet een nulpunt van multipliciteit #m# van een complexe veelterm #p(z)# als er een veelterm #t(z)# bestaat met #t(a)\neq 0#, zo dat
\[
p(z)=(z-a)^m\cdot t(z)
\] De multipliciteit van een nulpunt #a# is dus het aantal factoren #(z-a)# van #p(z)#.
Het getal #0# is een nulpunt van #z^n# met multipliciteit #n#.
Het andere uiterste, #n# nulpunten van een complexe veelterm van graad #n# met elk multipliciteit #1#, komt ook voor. We behandelen eerst het geval #n=2#. Laat #w# een complex getal zijn dat niet gelijk is aan #0# en bekijk de vergelijking\[
z^2=w\tiny.\]Volgens de stelling Hogeremachtswortels heeft deze vergelijking twee oplossingen, beide met absolute waarde #\sqrt{|w|}# en met respectievelijk #\frac12\arg (w)# en # \frac12 \arg (w)+\pi# als argument. Dit heeft tot gevolg dat de veelterm #z^2-w# ontbonden kan worden in twee lineaire factoren:\[\begin{array}{rcl}z^2-w&=&\left(z-\sqrt{|w|}\cdot\left(\cos\left(\frac12\arg (w)\right)+\sin\left(\frac12\arg (w)\right)\cdot\ii\right)\right)\\ &&\cdot\left(z+\sqrt{|w|}\cdot\left(\cos\left(\frac12\arg (w)\right)+\sin\left(\frac12\arg (w)\right)\cdot\ii\right)\right)\end{array}\]De multipliciteiten van de nulpunten van de complexe veelterm #z^2-w# zijn dus alle gelijk aan #1#.
In het algemeen is dit ook het geval voor de veelterm #z^n-w# zolang #w\ne0#.
Als #p(z)# een veelterm van graad #n# is, dan volgt direct uit het voorgaande dat het aantal nulpunten van #p(z)#, ieder geteld met zijn multipliciteit, hoogstens #n# is. In feite geldt een nog veel sterkere eigenschap, die we later behandelen.
De veelterm #p(z)# kan als volgt ontbonden worden in factoren:
\[p(z)=\left(z+\ii\right) \cdot \left(z^3+\ii\cdot z+3\right)\tiny.\]De waarde van de tweede factor in #-\ii# is gelijk aan #\ii+4\ne0#, zodat geen hogere macht van #z+\ii# de veelterm #p(z)# deelt.
Dit resultaat is te vinden door
- het te zoeken aantal factoren #z+\ii# van #p(z)# gelijk te stellen aan #k=0#;
- te bezien of #p(z)# deelbaar is door #z+\ii# door na te gaan of #p(-\ii)=0#;
- zo ja, #k# met #1# op te hogen en het quotiënt #q(z)# van de deling door #z+\ii# te behandelen als #p(z)# in stap 2, en stap 2 te herhalen tot #q(z)# niet langer deelbaar is door #z+\ii#.
\[\begin{array}{rcl} p(-\ii) &=& 0\\
&&\phantom{xyzuvw}\color{blue}{\text{substitutie }z=-\ii}\\
p(z) &=& \left(z+\ii\right)\cdot p_1(z)\\
&&\phantom{x}\text{ waarbij }\\
p_1(z) &=& z^3+\ii\cdot z+3\\
&&\phantom{xyzuvw}\color{blue}{\text{deling van }p(z)\text{ door }z+\ii}\\
p_{1}(-\ii) & = & \ii+4\ne0\\
\end{array}\]De conclusie is dat #p(z)=\left(z+\ii\right) \cdot p_{1}(z)# en dat #-\ii# geen nulpunt van #p_{1}(z)# is. In het bijzonder is #-\ii# een nulpunt van #p(z)# van multipliciteit #1#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
