Complexe getallen: Complexe veeltermen
Reële veeltermen
We kijken nu weer terug naar veeltermen waarvan de coëfficiënten reëel zijn. Zo'n veelterm noemen we ook wel reëel.
Bewijs: Schrijf #p(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+ \cdots +a_1z+a_0#, waarbij #a_n,a_{n-1},\ldots,a_1,a_0# reëel zijn. Gegeven is \[a_nw ^n+a_{n-1}w ^{n-1}+ \cdots + a_1w + a_0=0\tiny .\]Complex conjugeren geeft\[\overline{a_nw ^n+a_{n-1}w ^{n-1}+ \cdots + a_1w +a_0}=\overline{0}\tiny.\]Toepassing van de rekenregels voor complexe conjugatie levert dan\[a_n\overline{w }^n+a_{n-1}\overline{w }^{n-1}+ \cdots + a_1\overline{w }+ a_0=0\tiny,\]dus #p(\overline{w })=0#.
De abc-formule voor complexe oplossingen van een reële kwadratische vergelijking
De kwadratische vergelijking
\[az^2+bz+c=0\]met reële coëfficiënten #a#, #b#, #c# waarvoor #a\ne0#, heeft als complexe oplossing\[z=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\tiny,\]waarbij #D= b^2-4\cdot a\cdot c# de discriminant is.
- Als #D\gt0#, dan zijn beide oplossingen reëel en verschillend.
- Als #D = 0#, dan is er één oplossing, die reëel is en multipliciteit #2# heeft.
- Als #D\lt0#, dan zijn beide oplossingen niet reëel: #z=\frac{-b\pm\sqrt{-D}\cdot\ii}{2a}#.
De gevallen #D\gt0# en #D=0# zijn bekend van de reële abc-formule.
Als #D\lt0#, dan is #\sqrt{D}# de wortel uit een negatief reëel getal, waarvan bekend is dat we het als #\sqrt{-D}\cdot\ii# kunnen schrijven. Dezelfde afleiding als voor het reële geval (bijvoorbeeld met kwadraat afsplitsen), geeft dat de complexe oplossingen #z=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}# zijn, wat dus te herschrijven is als #z=\frac{-b\pm\sqrt{-D}\cdot\ii}{2a}#.
Reële versie van de hoofdstelling van de algebra
Elke veelterm ongelijk aan de nulveelterm met reële coëfficiënten is ontbindbaar in factoren van graad 1 of 2 met reële coëfficiënten.
Bewijs: Laat #p(z)# een veelterm met reële coëfficiënten zijn. Als de graad van #p(z)# gelijk aan #0# is, dan is #p(z)# een constante veelterm en valt er niets te bewijzen. Neem dus aan dat de graad van #p(z)# ten minste #1# is. We passen de hoofdstelling van de algebra toe op #p(z)#, opgevat als complexe veelterm. Dit heeft tot gevolg dat #p(z)# een nulpunt #w# heeft, dat een complex getal is.
Als #w# reëel is, dan kan #p(z)# geschreven worden als\[p(z)=(z-w )\cdot q(z)\tiny,\]
waarin #q(z)# ook een veelterm met reële coëfficiënten is.
Als #w# een niet-reëel nulpunt van #p(z)# is, dan is #\overline{w}# ook een nulpunt, verschillend van #w#, en geldt
\[\begin{array}{rcl}p(z) & =& (z-w )\cdot(z-\overline{w})\cdot r(z)\\
& = &(z^2-(w +\overline{w })\cdot z+w \cdot \overline{w})\cdot r(z)\\
& = &(z^2-2{\Re} (w )\cdot z+|w |^2)\cdot r(z) \end{array}
\]
De eerste factor heeft reële coëfficiënten, dus #r(z)# ook.
Aangezien #q(z)# en #r(z)# een lagere graad hebben dan #p(z)#, kunnen we deze constructie herhalen, net zo lang tot we voor #q(z)# of #r(z)# een veelterm van graad #0#, dus een reële constante, gevonden hebben.
We geven drie afleidingen:
1. Van de theorie Complexe conjugatie weten we dat de vergelijking de vorm #z^2-2\,a\cdot z+r=0# heeft, waarbij #a=\Re(-2-3\cdot \ii)=-2# en #r = \left(-2-3\cdot \ii\right)\cdot\left(\overline{-2-3\cdot \ii}\right)=-2^2-3^2 =13#. Het antwoord is dus #z^2+4\cdot z+13#.
2. De gezochte veelterm heeft als nulpunt #-2-3\cdot\ii#, maar, omdat de veelterm reëel moet zijn, ook de complex geconjugeerde #\overline{-2-3\cdot \ii}=-2+3\cdot\ii#. Deze twee getallen zijn verschillend, dus het product
\[\left(z+2+3\cdot\ii\right)\cdot\left(z+2-3\cdot\ii\right)=z^2+4\cdot z+13\]is een deler van de gezochte veelterm. Omdat de graad van deze veelterm #2# is en de leidende coëfficiënt #1#, is dit de gevraagde veelterm.
3. Gegeven is dat de gezochte veelterm de vorm #z^2+b\cdot z + c# heeft en een niet-reële oplossing heeft. Daarvan zijn de nulpunten volgens de theorie\[\frac{-b\pm\sqrt{4c-b^2}\cdot\ii}{2}\tiny.\]Gelijkstelling van de oplossing met een plus voor het wortelteken aan #-2-3\cdot \ii# levert de vergelijkingen
\[\eqs{-2&=&-\frac{b}{2}\cr -3&=&\frac{\sqrt{4c-b^2}}{2}\cr}\]De eerste vergelijking leidt tot #b=4# en invulling van deze waarde voor #b# in de tweede vergelijking leidt tot #c=13#, zodat de gezochte veelterm #z^2+4\cdot z+13# is.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.