Bewijs: Schrijf #p(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+ \cdots +a_1z+a_0#, waarbij #a_n,a_{n-1},\ldots,a_1,a_0# reëel zijn. Gegeven is \[a_nw ^n+a_{n-1}w ^{n-1}+ \cdots + a_1w + a_0=0\tiny .\]Complex conjugeren geeft\[\overline{a_nw ^n+a_{n-1}w ^{n-1}+ \cdots + a_1w +a_0}=\overline{0}\tiny.\]Toepassing van de rekenregels voor complexe conjugatie levert dan\[a_n\overline{w }^n+a_{n-1}\overline{w }^{n-1}+ \cdots + a_1\overline{w }+ a_0=0\tiny,\]dus #p(\overline{w })=0#.

De gevallen #D\gt0# en #D=0# zijn bekend van de reële abc-formule.

Als #D\lt0#, dan is #\sqrt{D}# de wortel uit een negatief reëel getal, waarvan bekend is dat we het als #\sqrt{-D}\cdot\ii# kunnen schrijven. Dezelfde afleiding als voor het reële geval (bijvoorbeeld met kwadraat afsplitsen), geeft dat de complexe oplossingen #z=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}# zijn, wat dus te herschrijven is als #z=\frac{-b\pm\sqrt{-D}\cdot\ii}{2a}#.

Bewijs: Laat #p(z)# een veelterm met reële coëfficiënten zijn. Als de graad van #p(z)# gelijk aan #0# is, dan is #p(z)# een constante veelterm en valt er niets te bewijzen. Neem dus aan dat de graad van #p(z)# ten minste #1# is. We passen de hoofdstelling van de algebra toe op #p(z)#, opgevat als complexe veelterm. Dit heeft tot gevolg dat #p(z)# een nulpunt #w# heeft, dat een complex getal is.

Als #w# reëel is, dan kan #p(z)# geschreven worden als\[p(z)=(z-w )\cdot q(z)\tiny,\]
waarin #q(z)# ook een veelterm met reële coëfficiënten is.

Als #w# een niet-reëel nulpunt van #p(z)# is, dan is #\overline{w}# ook een nulpunt, verschillend van #w#, en geldt
\[\begin{array}{rcl}p(z) & =& (z-w )\cdot(z-\overline{w})\cdot r(z)\\
& = &(z^2-(w +\overline{w })\cdot z+w \cdot \overline{w})\cdot r(z)\\
& = &(z^2-2{\Re} (w )\cdot z+|w |^2)\cdot r(z) \end{array}
\]
De eerste factor heeft reële coëfficiënten, dus #r(z)# ook.

Aangezien #q(z)# en #r(z)# een lagere graad hebben dan #p(z)#, kunnen we deze constructie herhalen, net zo lang tot we voor #q(z)# of #r(z)# een veelterm van graad #0#, dus een reële constante, gevonden hebben.