Complexe getallen: Complexe functies
Rekenregels voor complexe machten
In de nieuwe notatie van imaginaire machten van #\e# ziet het vermenigvuldigen en delen van complexe getallen op de eenheidscirkel er een stuk overzichtelijker uit. De gebruikelijke rekenregels mogen ook voor complexe machten van #\e#, en daarmee voor elk ander positief reëel grondtal, gehanteerd worden:
Producten van complexe machten
Laat #r# een positief reëel getal zijn. Voor elk tweetal complexe getallen #z# en #w#, en elk geheel getal #n# geldt:
- #r^{z}\cdot r^{w}=r^{z+w}#
- #\left(r^{z}\right)^n=r^{n\cdot z}#
Bewijs van 1: We leiden eerst het resultaat af in het speciale geval #r=\e#. De complexe getallen in het linker en het rechter lid hebben dezelfde absolute waarde, wat duidelijk kan worden gemaakt met behulp van de theorie Rekenen met poolcoördinaten en Rekenregels voor reële en imaginaire delen:
\[\begin{array}{rcl}| \e^{z} \cdot \e^{w}| & =& | \e^{z}|\cdot | \e^{w}| =
\e^{{\Re} (z)}\cdot \e^{{\Re} (w)}= \e^{{\Re} (z)+{\Re} (w)}\tiny,\\ \\
| \e^{z+w}|\ &=& \e^{{\Re} (z+ w)}=\e^{{\Re} (z)+{\Re} (w)}\tiny.\end{array}
\]
Ook hebben ze hetzelfde argument:
\[\begin{array}{rcl}
\arg (\e^{z}\cdot \e^{w})&=&\arg (\e^{z})+\arg (\e^{w})={\Im} (z)+{\Im} (w)\tiny ,
\\
\arg (\e^{z+w})&=&{\Im} (z+w)\ ={\Im} (z)+{\Im} (w)\tiny .\end{array}
\]
Omdat de getallen in het linker en het rechter lid dezelfde absolute waarde en hetzelfde argument hebben, zijn ze gelijk. Hiermee hebben we #\e^{z}\cdot \e^{w}=\e^{z+w}# afgeleid.
Het algemene geval volgt uit de volgende afleiding:\[r^{z}\cdot r^{w}=\e^{\ln(r)\cdot z}\cdot \e^{\ln(r)\cdot w}=\e^{\ln(r)\cdot z+\ln(r)\cdot w}=\e^{\ln(r)\cdot( z+ w)}=r^{z+w}\tiny.\]
Bewijs van 2: Voor #n=1# staat hier #\left(r^{z}\right)^1=r^{1\cdot z}#, wat vanzelf spreekt omdat beide leden gelijk zijn aan #r^z#.
We gaan door met volledige inductie om de uitspraak te bewijzen voor alle natuurlijke getallen #n#. Daartoe gaan we ervan uit dat de uitspraak waar is voor #n# en leiden de uitspraak af voor #n+1# in plaats van #n#. We nemen dus aan dat #\left(r^{z}\right)^n=r^{n\cdot z}# geldt (deze uitspraak heet de inductiehypothese) en leiden hieruit als volgt af dat #\left(r^{z}\right)^{n+1}=r^{(n+1)\cdot z}#:\[\begin{array}{rcl}\left(r^{z}\right)^{n+1}&=&\left(r^{z}\right)^{1}\cdot \left(r^{z}\right)^{n}\\&&\phantom{uvwxyzuvwxyz}\color{blue}{w^{n+1}=w\cdot w^n}\\&=& r^{z} \cdot r^{n\cdot z}\\&&\phantom{uvwxyzuvwxyz}\color{blue}{\text{geval }n=1\text{ en inductiehypothese}}\\&=& r^{z+n\cdot z}\\&&\phantom{uvwxyzuvwxyz}\color{blue}{\text{ gelijkheid 1}}\\&=& r^{(n+1)\cdot z}\\&&\phantom{uvwxyzuvwxyz}\color{blue}{z\text{ buiten haakjes gehaald}}\end{array}\]Volgens het principe van volledige inductie is de uitspraak hiermee bewezen voor alle natuurlijke getallen #n#.
Rest nog de uitspraak te bewijzen voor alle gehele getallen #n\le0#. Als #n=0#, dan vinden we #\left(r^{z}\right)^0=1=r^0=r^{0\cdot z}#, wat de uitspraak voor dit geval bewijst.
De uitspraak voor #n=-1# volgt uit de eerste uitspraak met #w=-z#: #r^{z}\cdot r^{-z}=r^{z-z}=r^0=1# geeft #\frac{1}{r^z}=r^{-z}#, zodat #\left(r^z\right)^{-1}=\frac{1}{r^z}=r^{-z}=r^{-1\cdot z}#.
Voor #n\lt -1# ten slotte, schrijven we #m=-n# en maken we gebruik van het feit dat #\left(r^{z}\right)^m=r^{m\cdot z}# al bewezen is:\[\left(r^{z}\right)^{n}=\left(r^{z}\right)^{-m}=\frac{1}{\left(r^{z}\right)^{m}}=\frac{1}{r^{m\cdot z}}={r^{-m\cdot z}}={r^{n\cdot z}}\]waarmee de uitspraak ook voor alle gehele #n# bewezen is.
Een beroemde consequentie van deze rekenregels is de volgende.
Regel van De Moivre
Als #\varphi# reëel is, dan geldt voor elk geheel getal #n#: \[\left( \cos( \varphi)+\sin(\varphi)\cdot\ii\right)^n = \cos(n\cdot\varphi)+\sin(n\cdot\varphi)\cdot\ii\tiny.\]
Dit is een gevolg van de tweede gelijkheid #\left(\e^{z}\right)^n=\e^{n\cdot z}# uit bovenstaande stelling Producten van complexe machten en twee toepassingen van de Formule van Euler: \[\begin{array}{rcl}\left(\cos(\varphi)+\sin(\varphi)\cdot\ii\right)^n &=&\left(\e^{\varphi\cdot \ii}\right)^n\\&=& \e^{n\cdot\varphi\cdot \ii}\\&=&\cos(n\cdot\varphi)+\sin(n\cdot\varphi)\cdot\ii\end{array}\]
De kracht van de regel van De Moivre wordt duidelijk in de volgende bepaling van alle complexe hogeremachtswortels van positieve reële getallen.
Hogeremachtswortels
Laat #w# een complex getal ongelijk aan #0# zijn en #n# een natuurlijk getal. De vergelijking\[z^n=w\]met onbekende #z# heeft precies #n# verschillende oplossingen, namelijk\[z=\sqrt[n]{|w|}\cdot \e^{\frac{\left(\arg(w)+2\,k\cdot\pi\right)\cdot\ii}{n}}\phantom{xxxxx}\text{ waarbij }k=0,1,\ldots,n-1\tiny.\]
Bewijs: Laat #z=r\cdot \e^{\varphi\cdot\ii}# de polaire vorm van #z# zijn; dus #r# is een positief reëel getal en #\varphi# is een willekeurig reëel getal. Vanwege de regel van De Moivre geldt #z^n=r^n\cdot\e^{n\cdot\varphi\cdot\ii}#. Gelijkstelling aan #w# en vergelijking van absolute waarde en argument levert\[\eqs{r^n&=&|w|\cr n\cdot\varphi&=&\arg(w)\pmod{2\pi}\cr}\]De eerste vergelijking levert #r=|w|^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{|w|}# omdat #r# positief is (zie de theorie hogeremachtswortels). De tweede vergelijking leert ons dat er een geheel getal #k# is, zodanig dat #n\cdot\varphi=\arg(w)+2k\cdot \pi#. Dus #\varphi=\frac{\arg(w)+2k\cdot \pi}{n}#. Daarom is \[z=r\cdot\e^{\varphi\cdot\ii}=\sqrt[n]{|w|}\cdot\e^{\frac{\left(\arg(w)+2\,k\cdot\pi\right)\cdot\ii}{n}}\tiny.\]
We gaan nog na dat we #k=0,1,\ldots,n-1# kunnen eisen. Als we bij #k# een geheel veelvoud van #n#, zeg #q\cdot n#, optellen, dan verandert de oplossing niet:\[\sqrt[n]{|w|}\cdot\e^{\frac{\left(\arg(w)+2\,(k+q\cdot n)\cdot\pi\right)\cdot\ii}{n}}=\sqrt[n]{|w|}\cdot\e^{\frac{\left(\arg(w)+2\,k\cdot\pi\right)\cdot\ii}{n}}\cdot\e^{2\,q\cdot\pi\cdot\ii}=\sqrt[n]{|w|}\cdot\e^{\frac{\left(\arg(w)+2\,k\cdot\pi\right)\cdot\ii}{n}}\tiny.\]Bijgevolg kunnen we ons beperken tot waarden van #k# in het interval #\ivco{0}{n}#. Anderzijds geven de #n# overblijvende waarden van #k# verschillende argumenten modulo #2\pi#, en dus ook verschillende oplossingen. Hiermee is de stelling bewezen.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.