Na uitbreiding tot de complexe getallen wordt elke orthogonale afbeelding op een eindigdimensionale inproductruimte diagonaliseerbaar. Dit, en meer, wordt bewezen in onderstaande stelling.
Laat #L# een orthogonale afbeelding op een eindigdimensionale inproductruimte #V# zijn en stel dat #W# een #L#-invariante lineaire deelruimte van #V# is. Volgens eigenschap 5 van orthogonale afbeeldingen is het orthogonale complement van #W# ook invariant onder #L#. Kies nu een orthonormale basis #\alpha# voor #V# bestaande uit een orthonormale basis van #W# aangevuld met een orthonormale basis van #W^\perp#. Dan heeft de matrix van #L# ten opzichte van #\alpha# de vorm \[L_\alpha =\left(\,\begin{array}{cc}
M_1 & 0 \\ 0 & M_2
\end{array}\,\right)\]waarbij #M_1# en # M_2# orthogonale matrices zijn van de afbeeldingen #\left.L\right|_W:W\rightarrow W# respectievelijk #\left.L\right|_{W^\perp} :W^\perp\rightarrow W^\perp# en #0# op beide plaatsen een nulmatrix van passende afmetingen weergeeft.
We gebruiken deze eigenschap om de reële Jordannormaalvorm van orthogonale matrices te beschrijven. Het is niet moeilijk na te gaan dat een matrix in reële Jordannormaalvorm dan en slechts dan orthogonaal is als alle reële eigenwaarden gelijk zijn aan #1# of #-1#, alle #(2\times2)#-matrices langs de diagonaal de vorm \[D_{\varphi} = \matrix{\cos(\varphi)&-\sin(\varphi)\\ \sin(\varphi)& \cos(\varphi)} \] hebben voor zekere #\varphi# en geen enkel Jordanblok enen buiten de diagonaal heeft staan. De #(2\times2)#-matrices #D_{\varphi}# zijn de draaiingsmatrices van Orthogonale matrices in 2 dimensies. De stelling hieronder laat zien dat elke orthogonale matrix door conjugatie met een orthogonale matrix in deze vorm gebracht kan worden.
Laat #L:V\to V# een orthogonale afbeelding zijn op een eindigdimensionale inproductruimte #V#. Dan is er een orthonormale basis #\alpha# zo dat \[L_\alpha =\left(\,\begin{array}{cccccccccc}
1\\
& \ddots\\
& & 1\\
& & & -1 & & & & 0 \\
& & & & \ddots\\
& & & & & -1\\
& & & & & & D_{\varphi_1}\\
& & & 0 & & & & D_{\varphi_2}\\
& & & & & & & & \ddots\\
& & & & & & & & & D_{\varphi_r}
\end{array}\,\right)
\]waarbij #\varphi_i\in\ivoo{0}{\pi}# voor elke #i# met #1\le i\le r# een reëel getal is.
Van een matrix van deze vorm zeggen we dat hij een orthogonale Jordannormaalvorm heeft. De orthogonale Jordannormaalvorm van #L# is uniek bepaald op de volgorde van de matrices #D_{\varphi_i}# na. We noemen #D_{\varphi_i}# voor #i=1,\ldots,r# de draaiingsmatrices van #L#.
We passen dit resultaat toe op het geval van #4# dimensies. Laat #L:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4# een orthogonale afbeelding zijn, die geen scalarvermenigvuldiging is (dus ongelijk aan #\pm I_4#). Dan is er een orthonormale basis #\alpha# van #\mathbb{R}^4# zodat #L_\alpha# één van de volgende vormen heeft, waarbij #\varphi# en #\psi# in het open interval #\ivoo{0}{\pi}# liggen:
\[\begin{array}{rclcl}\text{twee onderling loodrechte draaiingen}&:& L_\alpha &=&
\left(\,\begin{array}{cc}
D_{\varphi}&0\\
0&D_{\psi}
\end{array}\,\right)\\ \text{één draaiing}&:& L_\alpha &=&
\left(\,\begin{array}{cc}
I_2&0\\
0&D_{\varphi}
\end{array}\,\right)\\ \text{een draaispiegeling in 3D}&:& L_\alpha &=&
\left(\,\begin{array}{ccc}
1&0&0\\ 0&-1&0\\
0&0&D_{\varphi}
\end{array}\,\right)\\ \text{een puntspiegeling in 2D loodrecht op een draaiing}&:& L_\alpha &=&
\left(\,\begin{array}{cc}
-I_2&0\\
0&D_{\varphi}\end{array}\,\right)\\ \text{een puntspiegeling in 2D}&:& L_\alpha &=&
\left(\,\begin{array}{cc}
I_2&0\\
0&-I_2
\end{array}\,\right)\\\text{een spiegeling}&:& L_\alpha &=&
\left(\,\begin{array}{cc}
I_3&0\\
0&-1
\end{array}\,\right)\\\end{array}
\]
Zoals eerder geven we met #E_\lambda# de eigenruimte van #L# aan bij eigenwaarde #\lambda#. We weten dat elke eigenwaarde absolute waarde #1# heeft.
Stel dat #\lambda# een reële eigenwaarde van #L# is. Dan is #\lambda=\pm1# en is #E_{\lambda}^\perp# een #L#-invariante deelruimte van #V# waarop #L# geen eigenwaarde #\lambda# heeft. In het bijzonder is #W = E_{1}+E_{-1}# een #L#-invariante deelruimte, zodat #W^\perp# een #L#-invariante deelruimte van #V# is met #V=W\oplus W^\perp#. De beperking van #L# tot #W^\perp# heeft geen reële wortels, maar wel #r\ge0# niet-reële wortels met absolute waarde #1#, die we mogen schrijven als\[\ee^{\ii\varphi_i}=\cos(\varphi_i)+\ii\sin(\varphi_i)\qquad\text{voor reële }\varphi_i\in\ivoo{-\pi}{0}\cup\ivoo{0}{\pi}\text{ en }i=1,\ldots,r\] vergezeld door nog eens #r# niet-reële wortels #\ee^{-\ii\varphi_1},\ldots,\ee^{-\ii\varphi_r}# met tegengestelde imaginaire delen. Omdat het voor elk paar #\ee^{\ii\varphi_i},\ee^{-\ii\varphi_i}# van onderling complex geconjugeerde wortels niet uitmaakt welke van de twee we #\lambda_i# noemen en welke we #\overline{\lambda}_i# noemen, mogen we kiezen om een wortel #\lambda_i# te noemen als zijn imaginaire deel positief is en #\overline{\lambda}_i# als zijn imaginaire deel negatief is. Dit betekent dat we #\lambda_i=\ee^{\ii\varphi_i}# mogen schrijven waarbij de hoek #\varphi_i# wordt beperkt tot het domein #\ivoo{0}{\pi}# zodat #\sin(\varphi_i)# positief is voor alle #i=1,\ldots,r#.
Bekijk eerst de eigenwaarde #\lambda_1# met niet-reële eigenvector #\vec{a}_1#. Volgens de stelling Reëel Jordanblok heeft #L# voor #\lambda_1# een #2#-dimensionale #L#-invariante deelruimte #U_1# van #W^\perp# zodat de beperking van #L# tot #U_1# de matrix\[\matrix{\Re\lambda_1&-\Im\lambda_1\\\Im\lambda_1& \Re\lambda_1}=\matrix{\cos(\varphi_1)&-\sin(\varphi_1)\\\sin(\varphi_1)&\cos(\varphi_1)}=D_{\varphi_1}\] heeft ten opzichte van de orthonormale basis #\basis{\Re\vec{a}_1,-\Im\vec{a}_1}# voor #U_1# voor een reëel getal #\varphi_1# in #\ivoo{0}{\pi}#. (Ten opzichte van de basis #\basis{\Re\vec{a}_1,\Im\vec{a}_1}# zou de matrix #D_{-\varphi_1}# zijn.) Dezelfde redenering met #W'=E_1+E_{-1}+U_1# in plaats van #W# geeft dat #(W')^\perp# voor eigenwaarde #\lambda_2# met eigenvector #\vec{a}_2# een #2#-dimensionale #L#-invariante deelruimte #U_2# heeft, zodat de beperking van #L# tot #U_2# de matrix #D_{\varphi_2}# heeft ten opzichte van een orthonormale basis #\basis{\Re\vec{a}_2,-\Im\vec{a}_2}# voor #U_2#, voor een zekere #\varphi_2# in #\ivoo{0}{\pi}#. Zo doorgaande zien we dat #W^\perp# de directe som is van #r# tweedimensionale #L#-invariante deelruimten\[W^\perp=U_1\oplus U_2\oplus\ldots\oplus U_r\]zodat de beperking van #L# tot elk van die deelruimten een draaiing is, dat wil zeggen: ten opzichte van de orthonormale basis #\basis{\Re\vec{a}_i,-\Im\vec{a}_i}# voor #U_i# heeft de beperking van #L# tot #U_i# de matrix #D_{\varphi_i}# voor een reëel getal #\varphi_i# in #\ivoo{0}{\pi}#.
Kies orthonormale bases voor de eigenruimten #E_1 # en #E_{-1}# van de afbeelding #L#. Samen met orthonormale bases voor de #2#-dimensionale #L#-invariante deelruimten geven deze bases een orthonormale basis voor #V#. Ten opzichte van deze basis vinden we dus een matrix van #L# van de gedaante
\[ J =
\left(\,\begin{array}{cccccccccc}
1\\
& \ddots\\
& & 1\\
& & & -1 & & & & 0 \\
& & & & \ddots\\
& & & & & -1\\
& & & & & & D_{\varphi_1}\\
& & & 0 & & & & D_{\varphi_2}\\
& & & & & & & & \ddots\\
& & & & & & & & & D_{\varphi_r}
\end{array}\,\right)
\]De uniciteit van de orthogonale Jordannormaalvorm voor gegeven #L# volgt uit het feit dat er bij elke karakteristieke veelterm precies één orthogonale Jordannormaalvorm hoort, op volgorde van de hoeken #\varphi_i# na. Twee Jordannormaalvormen met dezelfde aantallen eigenwaarden #1# en #-1# en dezelfde hoeken maar in andere volgorde kunnen in elkaar overgevoerd worden door middel van een verwisseling van vectoren in de bijbehorende orthonormale basis; de matrix van zo'n verwisseling is een permutatiematrix, en dus orthogonaal.
Een direct gevolg van deze vorm is dat orthogonale afbeeldingen op eindigdimensionale vectorruimten complex diagonaliseerbaar zijn. Immers, zoals we gezien hebben in het commentaar op de diagonaliseerbaarheid van de stelling Matrix van een #2#-dimensionale orthogonale afbeelding, is elke deelmatrix #D_{\varphi_j}# langs de diagonaal van #J# complex diagonaliseerbaar, dus geconjugeerd met de diagonaalmatrix met #\ee^{\varphi_j\ii}#, #\ee^{-\varphi_j\ii}# op de diagonaal. Als #T_j# een conjugator is, bijvoorbeeld \[T_j =\matrix{1&\ii\\ 1&-\ii}\] dan geldt \[T_j\, D_{\varphi_j} \, T_j^{-1}=\matrix{\ee^{\varphi_j\ii}&0\\0&\ee^{-\varphi_j\ii}}\] Conjugatie van #J# met\[ T =
\left(\,\begin{array}{cccccccccc}
1\\
& \ddots\\
& & 1\\
& & & 1 & & & & 0 \\
& & & & \ddots\\
& & & & & 1\\
& & & & & & T_{1}\\
& & & 0 & & & & T_{2}\\
& & & & & & & & \ddots\\
& & & & & & & & & T_{r}
\end{array}\,\right)
\] levert dan de volgende diagonaalmatrix op: \[ T\,J\,T^{-1} = \small
\left(\,\begin{array}{cccccccccc}
1\\
& \ddots\\
& & 1\\
& & & -1 & & & & 0 \\
& & & & \ddots\\
& & & & & -1\\
& & & & & & \matrix{\ee^{\varphi_1\ii}&0\\0&\ee^{-\varphi_1\ii}}\\
& & & 0 & & & &\matrix{\ee^{\varphi_2\ii}&0\\0&\ee^{-\varphi_2\ii}}\\
& & & & & & & & \ddots\\
& & & & & & & & &\matrix{\ee^{\varphi_r\ii}&0\\0&\ee^{-\varphi_r\ii}}
\end{array}\,\right)
\]
Elke niet-reële eigenwaarde van een orthogonale afbeelding is een eigenwaarde van een draaiingsmatrix #D_{\varphi_i}# en heeft dus absolute waarde #1#.
Laat #A# een orthogonale matrix zijn. Volgens de stelling is #A# geconjugeerd met een matrix als hierboven aangegeven met als conjugator een orthogonale matrix. Volgens de stelling Reële Jordannormaalvorm is dit de unieke matrix (op verwisseling van de draaiingsmatrices na) van deze vorm waarmee #A# geconjugeerd is. Dit betekent dat als #A# geconjugeerd is met een orthogonale afbeelding #B#, er een orthogonale conjugator is; dat wil zeggen: er is een orthogonale matrix #X#, zodat #B =X\, A\, X^{-1} #. Met behulp van de polaire decompositie van matrices (die we later behandelen) is er een meer direct bewijs van deze uitspraak te geven.
Bekijk de orthogonale #(4\times4)#-matrix \[ A = {{1}\over{10}}\,\matrix{-1 & -1 & 7 & -7 \\ 1 & -1 & 7 & 7 \\ 7 & -7 & -1 & -1 \\ 7 & 7 & 1 & -1 \\ }\]De lineaire afbeelding #L_A :\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4#
bepaald door #A# bestaat uit draaiingen in twee vlakken door de oorsprong die loodrecht op elkaar staan. In het ene vlak is sprake van een draaiing over een hoek #\varphi#; in het andere vlak van een draaing over een hoek #\psi#.
Bepaal de cosinus van elk van beide hoeken. Geef je antwoord in de vorm van een lijst van twee getallen #\rv{a,b}# waarbij #a=\cos(\varphi)# en #b = \cos(\psi)#.
#\rv{\cos(\varphi) ,\cos(\psi)} =# #\rv{{{3}\over{5}},-{{4}\over{5}}}#
Eerst berekenen we de karakteristieke veelterm #p_A(x)# van #A#. Dit is mogelijk door de formule #p_A(x) = \det(A-x\cdot I_4)# uit te werken, of door de machten van #A# te berekenen en de lineaire vergelijking die de stelling van
Cayley-Hamilton ons geeft: \[A^4-\text{spoor}(A)\cdot A^3+c\cdot A^2+d\cdot A+I_4 = 0\]met onbekenden #c# en #d# op te lossen. Het resultaat is:
\[\begin{array}{rcl}p_A(x)& =& \displaystyle x^4+{{2 x^3}\over{5}}+{{2 x^2}\over{25}}+{{2 x}\over{5}}+1\end{array}\]Omdat #\mathbb{R}^4# de directe som is van twee vlakken door de oorsprong die #A# invariant laat, is #p_A(x)# het product van de karakteristieke veeltermen van draaiingen in een vlak met hoeken #\varphi# en #\psi#, dus
\[\begin{array}{rcl} p_A(x)& =&(x^2-2\cos(\varphi)\cdot x +1) \cdot(x^2-2\cos(\psi)\cdot x +1 )\\
& =&x^4-2(a+b)\cdot x^3 +(2+4a\cdot b)\cdot x^2-2(a+b)\cdot x+1\end{array}\]waarbij #a=\cos(\varphi)# en #b = \cos(\psi)#.
Vergelijking van deze twee uitdrukkingen voor #p_A(x)# leert dat
\[\eqs{-2\cdot(a+b) &=&\displaystyle {{2}\over{5}}\\ 2+ 4a\cdot b &=& \displaystyle {{2}\over{25}}}\]Een oplossing hiervan is
\[\rv{a,b} =\rv{ {{3}\over{5}},-{{4}\over{5}}}\]De enige andere oplossing wordt verkregen door de waarden voor #a# en #b# te verwisselen, en kunnen we dus achterwege laten.