Orthogonale en symmetrische afbeeldingen: Symmetrische afbeeldingen
Orthonormale bases en symmetrische afbeeldingen
Uit de eerder bewezen eigenschappen van symmetrische matrices leiden we nu hun diagonaliseerbaarheid af.
Diagonaliseerbaarheid van symmetrische afbeeldingen
Laat #V# een inproductruimte van eindige dimensie zijn en laat #L:V\rightarrow V# een symmetrische lineaire afbeelding zijn. Dan bestaat er een orthonormale basis voor #V# die bestaat uit eigenvectoren van #L#.
In termen van matrices is het resultaat als volgt te formuleren.
Diagonaliseerbaarheid van symmetrische matricesLaat #n# een natuurlijk getal zijn en #A# een symmetrische #(n\times n)#-matrix. Dan is er een orthogonale matrix #X# zo dat #X\, A\, X^{-1}# een diagonaalmatrix is.
#\alpha = # #\basis{\left[ {{1}\over{\sqrt{3}}} , -{{1}\over{\sqrt{3}}} , -{{1}\over{\sqrt{3}}} \right] , \left[ {{1}\over{\sqrt{2}}} , 0 , {{1}\over{\sqrt{2}}} \right] , \left[ -{{1}\over{\sqrt{6}}} , -{{\sqrt{2}}\over{\sqrt{3}}} , {{1}\over{\sqrt{6}}} \right] } #
De karakteristieke veelterm van #A# is \[-x^3+2 x^2+24 x\] Deze ontbindt als volgt in factoren: \[p_A(x) = \left(6-x\right)\cdot x\cdot \left(x+4\right)\]De symmetrische matrix #A# heeft dus eigenwaarden #0#, #-4#, # 6#. De bijbehorende eigenruimten zijn
\[
E_{0}=\linspan{\left[ 1 , -1 , -1 \right] },\ E_{-4}=\linspan{\left[ 1 , 0 , 1 \right] },\ E_{6}=\linspan{\left[ -1 , -2 , 1 \right] }
\]De eigenruimten staan loodrecht op elkaar. De keuze van een vector ter lengte #1# in elk van #E_{0}#, #E_{-4}#, #E_{6}# leidt dus tot een orthonormale basis van eigenvectoren van #A#:
\[
\alpha = \basis{\left[ {{1}\over{\sqrt{3}}} , -{{1}\over{\sqrt{3}}} , -{{1}\over{\sqrt{3}}} \right] ,\ \left[ {{1}\over{\sqrt{2}}} , 0 , {{1}\over{\sqrt{2}}} \right] ,\ \left[ -{{1}\over{\sqrt{6}}} , -{{\sqrt{2}}\over{\sqrt{3}}} , {{1}\over{\sqrt{6}}} \right] }
\]
De karakteristieke veelterm van #A# is \[-x^3+2 x^2+24 x\] Deze ontbindt als volgt in factoren: \[p_A(x) = \left(6-x\right)\cdot x\cdot \left(x+4\right)\]De symmetrische matrix #A# heeft dus eigenwaarden #0#, #-4#, # 6#. De bijbehorende eigenruimten zijn
\[
E_{0}=\linspan{\left[ 1 , -1 , -1 \right] },\ E_{-4}=\linspan{\left[ 1 , 0 , 1 \right] },\ E_{6}=\linspan{\left[ -1 , -2 , 1 \right] }
\]De eigenruimten staan loodrecht op elkaar. De keuze van een vector ter lengte #1# in elk van #E_{0}#, #E_{-4}#, #E_{6}# leidt dus tot een orthonormale basis van eigenvectoren van #A#:
\[
\alpha = \basis{\left[ {{1}\over{\sqrt{3}}} , -{{1}\over{\sqrt{3}}} , -{{1}\over{\sqrt{3}}} \right] ,\ \left[ {{1}\over{\sqrt{2}}} , 0 , {{1}\over{\sqrt{2}}} \right] ,\ \left[ -{{1}\over{\sqrt{6}}} , -{{\sqrt{2}}\over{\sqrt{3}}} , {{1}\over{\sqrt{6}}} \right] }
\]
De matrix van #(L_A)_\alpha# kunnen we zonder berekening opschrijven, want langs de diagonaal verschijnen de eigenwaarden:
\[
(L_A)_\alpha =\matrix{0 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \\ }
\]Bij wijze van verificatie van het antwoord stellen we de overgangsmatrix #X# van #\alpha# naar de standaardbasis op en gaan we na of conjugatie met #X# de diagonaalmatrix oplevert met #0#, #-4#, #6# op de diagonaal:
\[\begin{array}{rcl} X\, A\, X^{-1} &=&X\, A\, X^{\top} \\ &=& \matrix{{{1}\over{\sqrt{3}}} & -{{1}\over{\sqrt{3}}} & -{{1}\over{\sqrt{3}}} \\ {{1}\over{\sqrt{2}}} & 0 & {{1}\over{\sqrt{2}}} \\ -{{1}\over{\sqrt{6}}} & -{{\sqrt{2}}\over{\sqrt{3}}} & {{1}\over{\sqrt{6}}} \\ }\, \matrix{-1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & -2 \\ -3 & -2 & -1 \\ }\, \matrix{{{1}\over{\sqrt{3}}} & -{{1}\over{\sqrt{3}}} & -{{1}\over{\sqrt{3}}} \\ {{1}\over{\sqrt{2}}} & 0 & {{1}\over{\sqrt{2}}} \\ -{{1}\over{\sqrt{6}}} & -{{\sqrt{2}}\over{\sqrt{3}}} & {{1}\over{\sqrt{6}}} \\ }^{\top} \\ & =& \matrix{0 & 0 & 0 \\ -2^{{{3}\over{2}}} & 0 & -2^{{{3}\over{2}}} \\ -\sqrt{6} & -2\cdot \sqrt{6} & \sqrt{6} \\ } \, \matrix{{{1}\over{\sqrt{3}}} & {{1}\over{\sqrt{2}}} & -{{1}\over{\sqrt{6}}} \\ -{{1}\over{\sqrt{3}}} & 0 & -{{\sqrt{2}}\over{\sqrt{3}}} \\ -{{1}\over{\sqrt{3}}} & {{1}\over{\sqrt{2}}} & {{1}\over{\sqrt{6}}} \\ }\\ &=&\matrix{0 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \\ }\end{array}\]
\[
(L_A)_\alpha =\matrix{0 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \\ }
\]Bij wijze van verificatie van het antwoord stellen we de overgangsmatrix #X# van #\alpha# naar de standaardbasis op en gaan we na of conjugatie met #X# de diagonaalmatrix oplevert met #0#, #-4#, #6# op de diagonaal:
\[\begin{array}{rcl} X\, A\, X^{-1} &=&X\, A\, X^{\top} \\ &=& \matrix{{{1}\over{\sqrt{3}}} & -{{1}\over{\sqrt{3}}} & -{{1}\over{\sqrt{3}}} \\ {{1}\over{\sqrt{2}}} & 0 & {{1}\over{\sqrt{2}}} \\ -{{1}\over{\sqrt{6}}} & -{{\sqrt{2}}\over{\sqrt{3}}} & {{1}\over{\sqrt{6}}} \\ }\, \matrix{-1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & -2 \\ -3 & -2 & -1 \\ }\, \matrix{{{1}\over{\sqrt{3}}} & -{{1}\over{\sqrt{3}}} & -{{1}\over{\sqrt{3}}} \\ {{1}\over{\sqrt{2}}} & 0 & {{1}\over{\sqrt{2}}} \\ -{{1}\over{\sqrt{6}}} & -{{\sqrt{2}}\over{\sqrt{3}}} & {{1}\over{\sqrt{6}}} \\ }^{\top} \\ & =& \matrix{0 & 0 & 0 \\ -2^{{{3}\over{2}}} & 0 & -2^{{{3}\over{2}}} \\ -\sqrt{6} & -2\cdot \sqrt{6} & \sqrt{6} \\ } \, \matrix{{{1}\over{\sqrt{3}}} & {{1}\over{\sqrt{2}}} & -{{1}\over{\sqrt{6}}} \\ -{{1}\over{\sqrt{3}}} & 0 & -{{\sqrt{2}}\over{\sqrt{3}}} \\ -{{1}\over{\sqrt{3}}} & {{1}\over{\sqrt{2}}} & {{1}\over{\sqrt{6}}} \\ }\\ &=&\matrix{0 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \\ }\end{array}\]
Ontgrendel volledige toegang
Toegang voor leraar
Vraag een demo account aan. Wij helpen je graag op weg met onze digitale leeromgeving.
Toegang voor student
Is jouw universiteit niet aangesloten?
Via Pass Your Math kan je toegang krijgen tot onze cursussen onafhankelijk van je onderwijsinstelling. Bekijk de prijzen en nog veel meer. Of ga naar
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.