Bij niet-reële nulpunten van de karakteristieke vergelijking van een lineaire afbeelding # L :V\rightarrow V# van een reële vectorruimte #V# naar zichzelf horen geen eigenvectoren. Bij zo'n nulpunt hoort echter wel een tweedimensionale invariante deelruimte. We zullen laten zien dat deze invariante deelruimte te verkrijgen is als het reële deel van de 2-dimensionale complexe deelruimte opgespannen door een complexe eigenvector en de bijbehorende complex geconjugeerde in de complexe uitbreiding van #V#. Daarna behandelen we een reële Jordannormaalvorm waarin de eigenwaarden op de diagonaal en de enen daarbuiten van het geval van reële eigenwaarden vervangen zijn door #(2\times2)#-matrices.
Laat #A# een reële #(n\times n)#-matrix zijn. Veronderstel verder dat #\alpha =\basis{\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_{\ell}}# met #\ell\leq\frac{n}{2}# een stel lineair onafhankelijke vectoren in #\mathbb{C}^n# is waarop de #(\ell\times\ell)#-matrix van de beperking van #L_A# tot dit opspansel een Jordanblok is met niet-reële eigenwaarde #\mu#. Dan is \[\beta =\basis{\Re\vec{a}_1,\Im \vec{a}_1,\Re\vec{a}_2,\Im \vec{a}_2,\ldots,\Re\vec{a}_{\ell},\Im\vec{a}_{\ell}}\] een basis voor het opspansel van #\Re\alpha=\basis{\Re\vec{a}_1,\ldots ,\Re\vec{a}_{\ell}}# en #\Im\alpha=\basis{\Im\vec{a}_1,\ldots ,\Im\vec{a}_{\ell}}#, en is de matrix van de beperking van #L_A# tot dit opspansel met betrekking tot #\beta# de reële #(2\ell\times2\ell)#-matrix \[J_{\mu,2\ell}=\matrix{B&I_2&0_2&\cdots &0_2\\ 0_2&B&I_2&\cdots& 0_2\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots& \vdots\\ 0_2&\cdots&\ddots&B& I_2\\ 0_2&\cdots&\cdots&0_2&B} \phantom{xxx}\text{waarbij }B = \matrix{\Re\mu&\Im\mu\\ -\Im\mu&\Re\mu}\]
Stel dat #A# een reële #(n\times n)#-matrix is en dat #\mu# een niet-reële wortel is van de karakteristieke veelterm van #A#. Stel verder dat #\vec{v}# voldoet aan:\[A\vec{v}=\mu\vec{v}\]Nemen we de complex geconjugeerde van beide zijden, dan zien we\[A\overline{\vec{v}}=\overline{\mu}\overline{\vec{v}}\]Omdat we aannemen dat #\mu# niet-reëel is, zijn #\overline{\vec{v}}# en #\vec{v}# volgens Onafhankelijkheid van eigenvectoren bij verschillende eigenwaarden lineair onafhankelijk van elkaar. Uit #\overline{\vec{v}}\neq\vec{v}# volgt dat #\vec{v}# niet in #\mathbb{R}^n# zit.
Als we #L_A# opvatten als een afbeelding van de reële ruimte #\mathbb{R}^n# naar zichzelf, dan heeft de wortel #\mu# geen eigenvector in #\mathbb{R}^n# zodat #\mu# geen eigenwaarde van #A# is. Als we #L_A# echter opvatten als een afbeelding van de complexe ruimte #\mathbb{C}^n# (de complexe uitbreiding van #\mathbb{R}^n#), dan mogen we de niet-reële wortel #\mu# van de karakteristieke veelterm opvatten als eigenwaarde met niet-reële eigenvector #\vec{v}# in #\mathbb{C}^n#. In dat geval is #\overline{\mu}\neq\mu# een aparte eigenwaarde met aparte eigenvector #\overline{\vec{v}}\neq\vec{v}# in #\mathbb{C}^n#.
Een vector #\vec{a}_i\in\mathbb{C}^n# uit het stel #\alpha =\basis{\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_{\ell}}# uit de stelling behoort tot #\ker{\left(A-\mu\,I_n\right)^i}# voor #i# in #1,\ldots,\ell#:\[\left(A-\mu\,I_n\right)^i\vec{a}_i=\vec{0}\]Nemen we de complex geconjugeerde van beide zijden, dan zien we:\[\left(A-\overline{\mu}\,I_n\right)^i\overline{\vec{a}}_i=\vec{0}\]waarbij we gebruik hebben gemaakt van de aanname dat #A# reëel is. Omdat we verder aannemen dat #\mu# niet-reëel is, zien we dat #\vec{a}_i# en #\overline{\vec{a}}_i# behoren volgens Directesomdecomposities in invariante deelruimten tot verschillende deelruimten van #\mathbb{C}^n# die alleen de nulvector met elkaar gemeen hebben:\[\vec{a}_i\in\ker{\left(A-\mu\,I_n\right)^i}\qquad\text{en}\qquad\overline{\vec{a}}_i\in\ker{\left(A-\overline{\mu}\,I_n\right)^i}\] Dit betekent dat er geen complex getal #c# bestaat zodat #\overline{\vec{a}}_i=c\vec{a}_i#, en dus dat de #n# componenten van #\vec{a}_i# niet allemaal reëel zijn (omdat dan #c=1# een oplossing zou zijn) en ook niet allemaal imaginair zijn (omdat dan #c=-1# een oplossing zou zijn). Dit laat zien dat #\Re\vec{a}_i# en #\Im\vec{a}_i# beide ongelijk aan de nulvector zijn voor alle #i# in #1,\ldots,\ell#.
Bovendien bestaat er geen reëel getal #x# zodat #\Im\vec{a}_i=x\Re\vec{a}_i#. Stel immers dat deze vergelijking wel een oplossing voor #x# heeft. Dan zou gelden\[\begin{array}{rcl}\overline{\vec{a}}_i&=&\Re\vec{a}_i-\ii\Im\vec{a}_i\\&=&\Re\vec{a}_i-\ii x\Re\vec{a}_i\\&=&\left(1-\ii x\right)\Re\vec{a}_i\\&=&\dfrac{\left(1-\ii x\right)}{\left(1+\ii x\right)}\left(1+\ii x\right)\Re\vec{a}_i\\&=&\dfrac{\left(1-\ii x\right)^2}{\left(1+\ii x\right)\left(1-\ii x\right)}\left(\Re\vec{a}_i+\ii x\Re\vec{a}_i\right)\\&=&\dfrac{\left(1-\ii x\right)^2}{1+x^2}\left(\Re\vec{a}_i+\ii \Im\vec{a}_i\right)\\&=&\dfrac{\left(1-\ii x\right)^2}{1+x^2}\vec{a}_i\end{array}\]in tegenspraak met het feit dat #\overline{\vec{a}}_i# en #\vec{a}_i# geen scalaire veelvouden van elkaar zijn.
Uit het bovenstaande volgt dat #\Re\vec{a}_i\in\mathbb{R}^n# en #\Im\vec{a}_i\in\mathbb{R}^n# beide ongelijk aan de nulvector zijn en lineair onafhankelijk van elkaar zijn voor alle #i# in #1,\ldots,\ell#, zodat de basis \[\beta =\basis{\Re\vec{a}_1,\Im \vec{a}_1,\Re\vec{a}_2,\Im \vec{a}_2,\ldots,\Re\vec{a}_{\ell},\Im\vec{a}_{\ell}}\] uit de stelling goed is gedefinieerd.
Als #\alpha=\basis{\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_{\ell}}# een stel lineair onafhankelijke vectoren in #\mathbb{C}^n# is waarop de #(\ell\times\ell)#-matrix van de beperking van #L_A# tot dit opspansel een Jordanblok is met niet-reële eigenwaarde #\mu#, dan volgt uit het bovenstaande dat \[\overline{\alpha}=\basis{\overline{\vec{a}}_1,\ldots ,\overline{\vec{a}}_{\ell}}\] een stel lineair onafhankelijke vectoren in #\mathbb{C}^n# is waarop de #(\ell\times\ell)#-matrix van de beperking van #L_A# tot dit opspansel een Jordanblok is met niet-reële eigenwaarde #\overline{\mu}\neq\mu#. Een matrix in Jordanvorm van #L_A# heeft dus minimaal twee #(\ell\times\ell)#-Jordanblokken, die elkaars complex geconjugeerde zijn. We mogen deze blokken naast elkaar plaatsen, zodat ze samen een niet-reële #(2\ell\times 2\ell)#-deelmatrix vormen van de #(n\times n)#-matrix in Jordanvorm die geconjugeerd is met #A#. Dit verklaart de eis #\ell\leq\frac{n}{2}# in de stelling.
De twee niet-reële #(\ell\times\ell)#-Jordanblokken behorende bij #\mu# en #\overline{\mu}# verschijnen naast elkaar als we de basisvectoren als volgt ordenen:\[\basis{\ldots,\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_{\ell},\overline{\vec{a}}_1,\ldots ,\overline{\vec{a}}_{\ell},\ldots}\]Volgens de stelling kunnen we deze #2\ell# niet-reële basisvectoren vervangen door de volgende #2\ell# reële basisvectoren:\[\basis{\ldots,\Re\vec{a}_1,\Im\vec{a}_1,\Re\vec{a}_2,\Im \vec{a}_2,\ldots,\Re\vec{a}_{\ell},\Im\vec{a}_{\ell},\ldots}\]Ten opzichte van dit gedeelte van de basis krijgt de matrix van #L_A# één reëel #(2\ell\times2\ell)#-Jordanblok behorende bij #\mu#.
We hadden ook de volgende basis mogen kiezen:\[\basis{\ldots,\Re\overline{\vec{a}}_1,\Im\overline{\vec{a}}_1,\Re\overline{\vec{a}}_2,\Im \overline{\vec{a}}_2,\ldots,\Re\overline{\vec{a}}_{\ell},\Im\overline{\vec{a}}_{\ell},\ldots}=\basis{\ldots,\Re\vec{a}_1,-\Im\vec{a}_1,\Re\vec{a}_2,-\Im \vec{a}_2,\ldots,\Re\vec{a}_{\ell},-\Im\vec{a}_{\ell},\ldots}\]Ten opzichte van dit gedeelte van de basis krijgt de matrix van #L_A# één reëel #(2\ell\times2\ell)#-Jordanblok behorende bij #\overline{\mu}#.
Om de matrix van #L_A# ten opzichte van #\beta# te vinden, drukken we eerst de beelden van #\Re\vec{a}_1,\Im \vec{a}_1# uit in dezelfde twee eerste vectoren van #\beta#:
\[\begin{array}{rcl} L_A (\Re\vec{a}_1) &=& A (\Re\vec{a}_1)\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{definitie }L_A}\\ &=& \Re(A \,\vec{a}_1)\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{A \text{ is reëel}}\\ &=& \Re(\mu \vec{a}_1)\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\vec{a}_1\text{ is een eigenvector van }A\text{ bij }\mu}\\ &=&\Re( \mu)\cdot \Re(\vec{a}_1)-\Im(\mu)\cdot\Im(\vec{a}_1)\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\Re(x\cdot y ) = \Re( x)\cdot \Re(y)-\Im(x)\cdot\Im(y)} \end{array}\]Net zo kunnen we, gebruikmakend van de gelijkheid \(\Im(x\cdot y ) = \Re(x)\cdot \Im(y)+\Im(x)\cdot\Re(y)\), bewijzen dat \[L_A (\Im\vec{a}_1) =\Re( \mu)\cdot \Im(\vec{a}_1)+\Im(\mu)\cdot\Re(\vec{a}_1)\]De matrix van de beperking van #A# tot het opspansel #\linspan{\Re\vec{a}_1,\Im \vec{a}_1}# ten opzichte van #\basis{\Re\vec{a}_1,\Im \vec{a}_1}# is dus gelijk aan #B#.
We berekenen vervolgens het beeld van het reële en imaginaire deel van #\vec{a}_j# voor #j\gt 1#:
\[\begin{array}{rcl} L_A (\Re\vec{a}_j) &=& \Re(A \,\vec{a}_j)\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{ als hierboven voor }j = 1}\\ &=& \Re(\mu \vec{a}_j+\vec{a}_{j-1})\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{de matrix van } A\text{ ten opzichte van }\alpha\text{ is een Jordanblok}}\\ &=&\Re( \mu)\cdot \Re(\vec{a}_j)-\Im(\mu)\cdot\Im(\vec{a}_j)+\Re(\vec{a}_{j-1})\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\Re(x\cdot y ) = \Re( x)\cdot \Re(y)-\Im(x)\cdot\Im(y)} \end{array}\]Net zo kunnen we, gebruikmakend van de gelijkheid \(\Im(x\cdot y ) = \Re(x)\cdot \Im(y)+\Im(x)\cdot\Re(y)\), bewijzen dat \[L_A (\Im\vec{a}_j) =\Re( \mu)\cdot \Im(\vec{a}_j)+\Im(\mu)\cdot\Re(\vec{a}_j)+\Re(\vec{a}_{j-1})\]De twee kolommen van de matrix van de beperking van #A# tot #\beta# die corresponderen met #\Re\vec{a}_j# en #\Im \vec{a}_j# vormen dus de deelmatrix \[ \matrix{0\\ \vdots\\ 0\\ I_2\\ B\\ 0\\ \vdots \\ 0} \]met #j-2# nulmatrices boven #I_2#. Hiermee is vastgesteld dat de matrix van #L_A# ten opzichte van #\beta# er uit ziet als aangegeven.
Laat #V = \mathbb{R}^2# en #L=L_A:V\to V# voor \[A=\matrix{0&-1\\ 1&0}\] De wortels van de karakteristieke veelterm #p_L(x)= x^2+1# zijn #\mu=\ii# en #\overline{\mu}=-\ii#.
Bekijk eerst de imaginaire wortel #\mu=\ii#. In de complexe uitbreiding van #V# is #\mu# een eigenwaarde met complexe eigenvector #\vec{a}=\rv{\ii,1}\in\mathbb{C}^2#. Het stel #\alpha# uit de stelling bestaat in dit geval uit de enkele vector #\alpha=\{\rv{\ii,1}\}#. Volgens de stelling vormt #\beta=\basis{\Re\vec{a},\Im\vec{a}}=\basis{\rv{0,1},\rv{1,0}}# een basis van #\mathbb{R}^2#, en is #A# geconjugeerd met het reële Jordanblok \[J_{\ii,2}=\matrix{\Re(\ii)&\Im(\ii)\\-\Im(\ii)&\Re(\ii)}=\matrix{0&1\\-1&0}\]Merk op dat deze matrix gelijk is aan #S^{-1}AS# waarin de kolommen van #S# gelijk zijn aan de basisvectoren van #\beta#:\[S^{-1}AS=\matrix{0&1\\1&0}\matrix{0&-1\\1&0}\matrix{0&1\\1&0}=\matrix{0&1\\-1&0}\]Tezamen vormen de vectoren uit #\alpha# en #\overline{\alpha}# een basis #\basis{\rv{\ii,1},\rv{-\ii,1}}# van eigenvectoren in #\mathbb{C}^2# ten opzichte waarvan de matrix van #L# een diagonaalmatrix is met de eigenwaarden #\ii# en #-\ii# op de diagonaal. Immers, als #T# de #(2\times 2)#-matrix is waarvan de kolommen overeenkomen met de genoemde basisvectoren, dan is #T^{-1}AT# de genoemde diagonaalmatrix.
We hadden ook #\overline{\mu}=-\ii# mogen kiezen. De bijbehorende eigenvector is #\overline{\vec{a}}=\rv{-\ii,1}# zodat #\overline{\alpha}=\{\rv{-\ii,1}\}#. Volgens de stelling vormt \[\beta_{\overline{\mu}}=\basis{\Re\overline{\vec{a}},\Im\overline{\vec{a}}}=\basis{\rv{0,1},\rv{-1,0}}\] een alternatieve basis voor #\mathbb{R}^2#, en is #A# geconjugeerd met het reële Jordanblok \[J_{-\ii,2}=\matrix{\Re(-\ii)&\Im(-\ii)\\-\Im(-\ii)&\Re(-\ii)}=\matrix{0&-1\\1&0}=A\]We mogen de twee complexe #(1\times1)#-Jordanblokken behorende bij #\mu# en #\overline{\mu}# (dit zijn #J_{\ii,1}=\ii# en #J_{-\ii,1}=-\ii#) dus vervangen door één reëel #(2\times2)#-Jordanblok dat ofwel hoort bij #\mu# (dit is #J_{\ii,2}# hierboven) ofwel bij #\overline{\mu}# (dit is #J_{-\ii,2}# hierboven). Dit laat zien dat een reëel Jordanblok niet uniek bepaald is indien de karakteristieke veelterm een paar niet-reële wortels #\mu# en #\overline{\mu}# heeft die elkaars complex geconjugeerde zijn, maar wel bijna: de enige vrijheid is de keuze van #J_{\mu,2\ell}# of #J_{\overline{\mu},2\ell}#. Als we bijvoorbeeld eisen dat we alleen met #J_{\mu,2\ell}# werken voor #\Im\mu\gt 0#, dan is het Jordanblok uniek bepaald. In dit voorbeeld voldoet alleen het eerste Jordanblok aan deze eis.
In plaats van #B# kunnen we, bij een gegeven niet-reële eigenwaarde #\mu#, ook kiezen voor de matrix \[\matrix{0&c\\ 1&b}\phantom{ xx } \text{ met }\phantom{xx}b = \mu+\overline{\mu} \phantom{ xx } \text{en }\phantom{xx} c =- \mu\cdot\overline{\mu}\]Deze #(2\times2)#-matrix is invariant onder de verwisseling van #\mu# en #\overline{\mu}#. Het is de companionmatrix van de karakteristieke veelterm #x^2-b\cdot x -c# van #B#.
De reële #(2\times2)#-matrix #B# is de matrix ten opzichte van de basis #\basis{1,\ii}# voor #\mathbb{C}#, gezien als reële vectorruimte, van de lineaire afbeelding "complexe vermenigvuldiging met #\overline{\mu}#":\[\overline{\mu}\, z=\left(\Re\mu-\ii\Im\mu\right)\left(\Re z+\ii\Im z\right)=\Re\mu\Re z+\Im\mu\Im z+\ii\left(\Re\mu\Im z-\Im\mu\Re z\right)\]dus\[B\cv{\Re z\\\Im z}=\matrix{\Re\mu&\Im\mu\\-\Im\mu&\Re\mu}\cv{\Re z\\\Im z}=\cv{\Re\mu\Re z+\Im\mu\Im z\\\Re\mu\Im z-\Im\mu\Re z}=\cv{\Re\left(\overline{\mu}\,z\right)\\\Im\left(\overline{\mu}\, z\right)}\]
We komen hiermee tot het eindresultaat van de speurtocht naar een tot op zekere hoogte eenvoudigste/unieke vorm voor vierkante matrices binnen een gegeven conjugatieklasse:
Elke reële vierkante matrix #A# is geconjugeerd met een matrix die langs de hoofddiagonaal reële Jordanblokken #J_{\lambda,k}# heeft staan, waarbij #\lambda# een reële of complexe wortel van de karakteristieke veelterm van #A# is met #\Im\lambda\ge0#. Andersom, als de eigenwaarden #\lambda# met #\Im\lambda\ge0# gegeven zijn en de grootten #k# van alle voorkomende Jordanblokken #J_{\lambda,k}#, dan is de conjugatieklasse van #A# uniek bepaald.
In het bijzonder zijn twee reële vierkante matrices van dezelfde afmetingen dan en slechts dan geconjugeerd als ze als complexe matrices geconjugeerd zijn.
Een vierkante matrix is dan en slechts dan geconjugeerd met een reële matrix als het aantal Jordanblokken #j_{\lambda,k}# ter grootte #k# gelijk is aan #j_{\overline\lambda,k}# voor elke eigenwaarde #\lambda# en elk natuurlijk getal #k#.
Hierboven is al besproken hoe een vierkante matrix tot Jordannormaalvorm te conjugeren is: Gebruik eerst de directesomdecompositie in gegeneraliseerde eigenruimten voor elke complexe wortel #\lambda# van de karakteristieke veelterm met #\Im\lambda\ge0#. Pas dan de Jordandecompositie toe van stelling De Jordanvorm bij één eigenwaarde. Als #\lambda# niet-reëel is, dan geeft bovenstaande stelling aan hoe de Jordanblokken van de complexe lineaire afbeelding gebruikt kunnen worden om de reële Jordanblokken te vinden.
Om de uniciteit aan te tonen, moeten we nog afleiden dat twee gegeven Jordannormaalvormen alleen geconjugeerd zijn als de grootten de aantallen #j_{\lambda,i}# van Jordanblokken bij eigenwaarde #\lambda# ter grootte #i# gelijk zijn voor alle #\lambda# en #i#. In dat geval zijn de Jordannormaalvormen gelijk op verwisseling van Jordanblokken na. Een verwisseling van Jordanblokken komt neer op een verwisseling van de volgorde van de vectoren in een basis voor de betrokken invariante deelruimten. De twee Jordannormaalvormen zijn dus geconjugeerd door middel van een permutatiematrix.
De laatste uitspraak volgt direct uit het bewijs van de stelling hierboven: als de aantallen Jordanblokken bij eigenwaarde #\lambda# voor elke #k# gelijk zijn aan die van #\overline{\lambda}# dan is de matrix geconjugeerd met de matrix ten opzichte van de basis waarop de reële Jordannormaalvorm gevonden wordt. Andersom, als een matrix reëel is, dan moeten de aantallen complexe Jordanblokken bij gegeven grootte #k# gelijk zijn voor #\lambda# en #\overline{\lambda}#, bijvoorbeeld omdat complexe conjugatie het ene Jordanblok bij een niet-reële eigenwaarde in een ander Jordanblok bij de complex geconjugeerde eigenwaarde en van dezelfde grootte overvoert.
Eerder, bij de stelling Criterium voor reële conjugatie, is al een direct bewijs gegeven van het feit dat, als twee reële #(n\times n)#-matrices geconjugeerd zijn over #\mathbb{C}# ze ook geconjugeerd zijn over #\mathbb{R}#.
Er is één moeilijkheid bij het vinden van de Jordannormaalvorm: het ontbinden van de karakteristieke veelterm in lineaire factoren. Dit probleem wordt omzeild bij de companionmatrix. Hiervoor is het alleen nodig om factoren die dubbel voorkomen in de karakteristieke veelterm te achterhalen. Dit is mogelijk met behulp van de ggd, zoals we eerder besproken hebben.
Om de companionmatrix te beschrijven, kijken we naar de vectorruimte #P_{n-1}# van veeltermen in #x# van graad kleiner dan #n#, nemen we een monische veelterm #f(x)# in #x# van graad #n#, en bestuderen we de lineaire afbeelding #L_x:P_{n-1}\to P_{n-1}# die aan #g(x)# de rest bij deling van #x\cdot g(x)# door #f(x)# toevoegt. De companionmatrix bij #f(x)# is de #(n\times n)#-matrix van de lineaire afbeelding #L_x# ten opzichte van de basis #\basis{1,x,\ldots,x^{n-1}}#.
De eerste #n-1# kolommen van de companionmatrix zijn de vectoren #\vec{e}_2,\ldots,\vec{e}_{n}#. In de #i#-de rij van laatste kolom staat de tegengestelde van de coëfficiënt van #x^{i-1}# in #f(x)#. Als bijvoorbeeld #f(x) = x^2+1#, dan is de companionmatrix van #f(x)# gelijk aan #\matrix{0&-1\\1&0}#. De karakteristieke veelterm van deze matrix is gelijk aan #f(x)#.
Bekijk de matrix \[ A = \matrix{-6 & 0 & 12 & -3 & 15 & -3 & 0 & -3 \\ 18 & -12 & -30 & -3 & -21 & -3 & 12 & 3 \\ 9 & -6 & -9 & -3 & -9 & -6 & 9 & -3 \\ 0 & -6 & 0 & -3 & 3 & -3 & 6 & -3 \\ -6 & -3 & 6 & -3 & 12 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & 3 & -9 & 6 & 3 & 3 & 0 \\ 39 & -36 & -60 & -15 & -42 & -12 & 36 & 0 \\ 36 & -27 & -57 & -3 & -45 & -12 & 27 & 3 \\ } \]De karakteristieke veelterm van deze matrix is gelijk aan # \left(x^2-6 x+18\right)^4 #. De eigenwaarden van #A# zijn dus #3\, \complexi+3# en #3-3\, \complexi#. Berekening van de rang van de machten van #A- (3\, \complexi+3)\cdot I_8# geeft de volgende informatie
\[\begin{array}{l|r}
\text{matrix}\phantom{x}&\phantom{x}\text{rang}\\
\hline
{A- (3\, \complexi+3)\cdot I_8} &4\\
(A- (3\, \complexi+3)\cdot I_8)^2 & 4\\
(A- (3\, \complexi+3)\cdot I_8)^3 &4\\
\end{array}\]Geef met #B# de matrix van vermenigvuldiging met #3\, \complexi+3# aan ten opzichte van de basis #\basis{1,\ii}#, zodat #B = \matrix{3 & -3 \\ 3 & 3 \\ }#. Welke van onderstaande matrices is een Jordannormaalvorm van #A#?
#\text{Jordannormaalvorm voor }A=# #\matrix{B & 0 & 0 & 0 \\ 0 & B & 0 & 0 \\ 0 & 0 & B & 0 \\ 0 & 0 & 0 & B \\ }#
Om de grootte van de complexe Jordanblokken van #A# bij eigenwaarde #3\, \complexi+3# te bepalen, berekenen we eerst de dimensies van #\ker{(A-(3\, \complexi+3)\cdot I_8)^{\ell}}#. Als #\ell\ge 4#, dan is deze dimensie gelijk aan #4# omdat de kern dan samenvalt met de gegeneraliseerde eigenruimte, waarvan de dimensie gelijk is aan #4#, de multipliciteit van de wortel #3\, \complexi+3# van de karakteristieke veelterm. Volgens de
Dimensiestelling voor lineaire afbeeldingen is de dimensie #e_\ell=\dim{\ker{(A-(3\, \complexi+3)\cdot I_8)^\ell}}# van de kern van #(A-(3\, \complexi+3)\cdot I_8)^\ell# gelijk aan #8# min de rang van deze afbeelding. De in de vraagstelling gegeven informatie over de rang geeft dus de volgende waarden voor #e_\ell#:
\[\begin{array}{l|c}\ell\phantom{i}&e_\ell\\
\hline
1& 4\\
2&4\\
3&4\\
\hline
\end{array}\]Volgens de stelling
De Jordanvorm bij één eigenwaarde is #j_r#, het aantal Jordanblokken ter grootte #r# van #A# bij eigenwaarde #3\, \complexi+3#, als volgt te bepalen als functie van de #e_{\ell}# (niet alle stappen zijn nodig als de dimensie #4# van de gegeneraliseerde eigenruimte al bereikt wordt na een kleiner aantal stappen):
\[\begin{array}{rclclcl}
j_4 &=&
e_4-e_3&=&4-4 &=&0\\
j_3 &=&
2e_3-e_4-e_2&=&2\cdot 4-4-4&=&0\\
j_2 &=&2e_2-e_3-e_1&=&2\cdot 4-4-4 &=&0\\
j_1 &=&
2e_1-e_2-e_0&=&2\cdot 4-4-0&=&4\\
\end{array}\]Een complex Jordanblok correspondeert met een reëel Jordanblok van dubbele grootte. Het aantal #j_r# is dus ook het aantal reële Jordanblokken van #A# ter grootte #2r#. Dit heeft tot gevolg dat #A# een Jordanvorm moet hebben gelijk aan \[\matrix{B & 0 & 0 & 0 \\ 0 & B & 0 & 0 \\ 0 & 0 & B & 0 \\ 0 & 0 & 0 & B \\ }\]
Een basis waarop #A# de aangegeven Jordanvorm aanneemt, zijn de kolommen van de matrix \[T = \matrix{0 & -1 & 1 & -1 & 0 & -2 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & -3 & 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 2 & -2 & 0 \\ }\] Omdat \[T^{-1} = \matrix{1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -3 & 3 & 6 & 0 & 3 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & -2 & 1 \\ 3 & -2 & -4 & -1 & -3 & -1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ }\] wordt de conjugatie van #A# naar de Jordanvorm gerealiseerd door #T# in de zin dat
\[ T^{-1} A T = \matrix{3 & -3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & -3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 3 \\ }=\matrix{B & 0 & 0 & 0 \\ 0 & B & 0 & 0 \\ 0 & 0 & B & 0 \\ 0 & 0 & 0 & B \\ }\]
Reële Jordanvorm voor niet-reële eigenwaarden
