Stelsels lineaire vergelijkingen en matrices: Van stelsels naar matrices en rijreductie
Oplosbaarheid van stelsels lineaire vergelijkingen
Gebruikmakend van het begrip rang voor een matrix kunnen we de oplosbaarheid van een stelsel lineaire vergelijkingen karakteriseren. Eerst een definitie van het sleutelbegrip:
Rang De rang van een matrix is het aantal niet-nulrijen in een bijpassende trapvorm. We noteren de rang van een matrix \(A\) als \(\text{rang}(A)\).
- Een stelsel lineaire vergelijkingen is dan en slechts dan strijdig als de rang van de coëfficiëntenmatrix kleiner is dan de rang van de aangevulde matrix.
- Als een stelsel van #m# lineaire vergelijkingen in #n# onbekenden een oplossing heeft, dan wordt de oplossing geparameteriseerd door \(n-r\) vrije parameters, waarbij \(r\) de rang is van de bijpassende coëfficiëntenmatrix.
- Als de coëfficiëntenmatrix van een stelsel van #m# lineaire vergelijkingen in #n# onbekenden rang #n# heeft, dan heeft het stelsel precies één oplossing.
Bij homogene stelsels weten we al dat er altijd een oplossing is:
Niet-triviale oplossingen van homogene stelselsElk homogeen stelsel lineaire vergelijkingen heeft een triviale oplossing waarin alle waarden van de onbekenden gelijk aan nul zijn. Een niet-nul oplossing van een homogeen stelsel wordt een niet-triviale oplossing genoemd.
Elk homogeen stelsel lineaire vergelijkingen dat meer onbekenden dan vergelijkingen heeft, bezit niet-triviale oplossingen.
#\text{rang}(A)=# #1#
Met behulp van elementaire bewerkingen op de rijen reduceren we de matrix tot gereduceerde trapvorm \[ \begin{array}{rcl}A = \matrix{1&0&3&-5\\1&0&3&-5\\2&0&6&-10\\}&\sim\matrix{1&0&3&-5\\0&0&0&0\\2&0&6&-10\\}&{\color{blue}{\begin{array}{c}\phantom{x} R_2-R_1\phantom{x}\end{array}}}\\&\sim\matrix{1&0&3&-5\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\}&{\color{blue}{\begin{array}{c}\phantom{x} R_3-2R_1\end{array}}}\end{array}\]
Omdat de rang het aantal niet-nulrijen van deze matrix is, concluderen we dat de rang van de matrix #A# gelijk is aan #1#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.