Oplosbaarheid van stelsels lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen en matrices: Van stelsels naar matrices en rijreductie

Oplosbaarheid van stelsels lineaire vergelijkingen

Gebruikmakend van het begrip rang voor een matrix kunnen we de oplosbaarheid van een stelsel lineaire vergelijkingen karakteriseren. Eerst een definitie van het sleutelbegrip:

Rang De rang van een matrix is het aantal niet-nulrijen in een bijpassende trapvorm. We noteren de rang van een matrix \(A\) als \(\text{rang}(A)\).

Het aantal niet-nulrijen in een trapvorm van een matrix hangt niet af van de trapvorm. Dit is in te zien door op te merken dat

dit aantal niet verandert als de trapvorm verder gereduceerd wordt tot een gereduceerde trapvorm;
de gereduceerde trapvorm uniek is, zodat de rang in het geval van een gereduceerde trapvorm uniek is.

De rang van een matrix is per definitie niet groter dan het aantal rijen. Maar de rang is ook niet groter dan het aantal kolommen. Het aantal rijen met een leidend element gelijk aan #1# in de gereduceerde trapvorm is namelijk niet groter dan het aantal kolommen.

Rang criteria voor het bestaan van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen

Een stelsel lineaire vergelijkingen is dan en slechts dan strijdig als de rang van de coëfficiëntenmatrix kleiner is dan de rang van de aangevulde matrix.
Als een stelsel van #m# lineaire vergelijkingen in #n# onbekenden een oplossing heeft, dan wordt de oplossing geparameteriseerd door \(n-r\) vrije parameters, waarbij \(r\) de rang is van de bijpassende coëfficiëntenmatrix.
Als de coëfficiëntenmatrix van een stelsel van #m# lineaire vergelijkingen in #n# onbekenden rang #n# heeft, dan heeft het stelsel precies één oplossing.

In de definitie van rang, en daarmee in bovenstaande stelling, hebben we bewust vegen met rijen tot een trapvorm gehanteerd en niet de eis van gereduceerde trapvorm opgelegd. Dit laatste is namelijk niet altijd nodig om oplosbaarheid van een stelsel lineaire vergelijkingen vast te stellen.

Wanneer we de aangevulde matrix herleiden tot de gereduceerde trapvorm, veranderen de rang van de aangevulde matrix, de rang van de coëfficiëntenmatrix en de oplossing niet. Daarom mogen we aannemen dat de aangevulde matrix in gereduceerde trapvorm is. De bijbehorende coëfficiëntenmatrix is dat dan ook. De rang van een matrix in gereduceerde trapvorm is gelijk aan het aantal rijen met een leidend element #1#.

1. De rang van de coëfficiëntenmatrix is dan en slechts dan kleiner dan de rang van de aangevulde matrix als de aangevulde matrix een rij heeft met een leidend element #1# in de laatste kolom. In dat geval (en alleen dan) is de vergelijking die bij die rij hoort gelijk aan #0=1#, zodat het stelsel dan strijdig is.

2. De rol van de rang #r# is dezelfde als in Oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De uitspraak volgt onmiddellijk uit die stelling.

3. Deze uitspraak volgt uit de vorige, omdat vanwege uitspraak 1 er een oplossing is en vanwege 2 er geen vrije parameters zijn.

Bij homogene stelsels weten we al dat er altijd een oplossing is:

Niet-triviale oplossingen van homogene stelselsElk homogeen stelsel lineaire vergelijkingen heeft een triviale oplossing waarin alle waarden van de onbekenden gelijk aan nul zijn. Een niet-nul oplossing van een homogeen stelsel wordt een niet-triviale oplossing genoemd.

Elk homogeen stelsel lineaire vergelijkingen dat meer onbekenden dan vergelijkingen heeft, bezit niet-triviale oplossingen.

Pas de eliminatie-methode van Gauss toe op een dergelijk stelsel. Het aantal gebonden onbekenden (de rang van het stelsel) is hoogstens gelijk aan het aantal vergelijkingen. Omdat het aantal onbekenden groter is dan het aantal vergelijkingen, zijn er dus vrije parameters. Door één van deze vrije variabelen een niet-nul waarde te geven, krijgen we een niet-nul oplossing.

Bepaal de rang van de matrix \[A=\matrix{1 & 1 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 5 & -3 \\ 2 & 3 & 9 & -7 \\ }\]

#\text{rang}(A)=# #2#

Met behulp van elementaire bewerkingen op de rijen reduceren we de matrix tot gereduceerde trapvorm \[ \begin{array}{rcl}A = \matrix{1&1&4&-4\\1&2&5&-3\\2&3&9&-7\\}&\sim\matrix{1&1&4&-4\\0&1&1&1\\2&3&9&-7\\}&{\color{blue}{\begin{array}{c}\phantom{x} R_2-R_1\phantom{x}\end{array}}}\\&\sim\matrix{1&1&4&-4\\0&1&1&1\\0&1&1&1\\}&{\color{blue}{\begin{array}{c}\phantom{x} R_3-2R_1\end{array}}}\\&\sim\matrix{1&0&3&-5\\0&1&1&1\\0&1&1&1\\}&{\color{blue}{\begin{array}{c}R_1-R_2\phantom{x}\end{array}}}\\&\sim\matrix{1&0&3&-5\\0&1&1&1\\0&0&0&0\\}&{\color{blue}{\begin{array}{c}\phantom{x} R_3-R_2\end{array}}}\end{array}\]
Omdat de rang het aantal niet-nulrijen van deze matrix is, concluderen we dat de rang van de matrix #A# gelijk is aan #2#.

In de uitwerking hebben we de matrix #A# tot gereduceerde trapvorm gereduceerd, terwijl het voldoende is om #A# tot een trapvorm te reduceren.

Nieuw voorbeeld