We behandelen nu een algemeen stelsel van \(m\) lineaire vergelijkingen met \(n\) onbekenden \(x_1, \ldots, x_n\) in de volgende gedaante \[\left\{\;\begin{array}{lllllllll} a_{11}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{12}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{1n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_1\\ a_{21}x_1 \!\!&+&\!\! a_{22}x_2 \!\!&+&\!\! \cdots \!\!&+&\!\! a_{2n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_2\\ \vdots &&\vdots &&&& \vdots&&\!\!\!\!\vdots\\ a_{m1}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{m2}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{mn}x_n \!\!\!\! &=&\!\!\!\!b_m\end{array}\right.\] Hierbij zijn alle \(a_{ij}\) en \(b_i\) met \(1\le i\le m\) en \(1\le j\le n\) reële of complexe getallen. We bespreken hier de veegmethode voor het oplossen van zo'n stelsel. De strategie is om de volgende elementaire bewerkingen op stelsels van lineaire vergelijkingen toe te passen en zo stap voor stap een eenvoudiger stelsel te verkrijgen:
Behalve haakjes wegwerken, vereenvoudigen en hergroeperen van deeluitdrukkingen onderscheiden we de volgende drie elementaire bewerkingen op stelsels van lineaire vergelijkingen:
- Het vermenigvuldigen van een vergelijking (dat wil zeggen: beide zijden van de vergelijking) met een getal ongelijk aan nul.
- Het optellen van een veelvoud van één vergelijking bij een van de andere vergelijkingen.
- Het verwisselen van twee vergelijkingen.
We spreken van een elementaire herleiding als alle stappen in de herleiding elementaire bewerkingen zijn (we laten altijd haakjes wegwerken, vereenvoudigen en hergroeperen in elke vergelijking toe).
Als een stelsel lineaire vergelijkingen een elementaire herleiding is van een ander stelsel, dan zijn de twee stelsels equivalent.
We tonen aan dat elementaire bewerkingen op stelsels van lineaire vergelijkingen de oplossingsverzameling niet veranderen.
- Een vergelijking vermenigvuldigen met een scalar #\neq 0#
Laat #\rv{s_1,\ldots ,s_n}# een oplossing zijn van de vergelijking \[v:\quad a_1x_1+\cdots +a_nx_n=b\] Dit betekent dat \[a_1s_1+\cdots +a_ns_n=b\] Laat nu #\alpha# een getal ongelijk aan nul zijn. Vermenigvuldig #v# links en rechts met #\alpha#, dan vinden we \[\alpha a_1s_1+\cdots +\alpha a_n s_n=\alpha b\] zodat #\rv{s_1,\ldots,s_n}# ook een oplossing is van de vergelijking #\alpha \cdot v#.
Iedere oplossing van de vergelijking #v# is dus ook een oplossing van de vergelijking #\alpha\cdot v#.
Dus is ook iedere oplossing van de vergelijking #\alpha\cdot v# een oplossing van #\frac{1}{\alpha}\cdot \alpha\cdot v=v#. We hebben hier gebruikt dat #\alpha \neq 0#. De vergelijkingen #v# en #\alpha\cdot v# hebben dus dezelfde oplossingen. (Dit feit is ook in de stelling van Herleiding tot basisvorm aan de orde gekomen.) Daarom kunnen we in een stelsel vergelijkingen één van de vergelijkingen met een getal #\alpha\neq 0# vermenigvuldigen zonder dat de oplossingsverzameling verandert.
- Vergelijkingen #v# en #w# vervangen door #v# en #w+\beta v# voor een zekere scalar #\beta#
Laat #\rv{s_1,\ldots ,s_n}# een oplossing zijn van de vergelijkingen \[ v:\quad a_1x_1+\cdots +a_nx_n=b \quad \mathrm{en}\quad w:\quad c_1x_1+\cdots +c_nx_n=d\] Dit betekent dat \[a_1s_1+\cdots +a_ns_n=b \quad \mathrm{en}\quad c_1s_1+\cdots +c_ns_n=d \]
Hieruit volgt voor een willekeurig getal #\beta# dat \[(c_1+\beta\cdot a_1)s_1+\cdots +(c_n+\beta\cdot a_n)s_n=d+\beta\cdot b\] Dus iedere oplossing van de vergelijkingen #v# en #w# is ook een oplossing is van de vergelijkingen #v# en #w+\beta \cdot v#.
Hieruit volgt weer dat iedere oplossing van de vergelijkingen #v# en #w+\beta \cdot v# ook een oplossing is van de vergelijkingen #v# en #(w+\beta \cdot v)-\beta \cdot v#, dus van #v# en #w#. De vergelijkingen #v# en #w# hebben dus dezelfde oplossingen als de vergelijkingen #v# en #w+\beta \cdot v#. De oplossingsverzameling van een stelsel vergelijkingen verandert dus niet als we bij één vergelijking een veelvoud van een andere vergelijking optellen.
- Volgorde veranderen
Het is direct duidelijk uit de definitie van een stelsel vergelijkingen dat, als we in een stelsel vergelijkingen de volgorde veranderen, de verzameling oplossingen niet verandert.
Later zullen we zien dat als twee stelsels lineaire vergelijkingen met dezelfde onbekenden equivalent zijn, ze ook tot elkaar herleid kunnen worden met elementaire bewerkingen, tenminste, als we het toevoegen en wegnemen aan het stelsel van de vergelijking #0=0# ook als bewerking toelaten.
De stelling hieronder verklaart waarom elementaire herleiding werkt.
De volgende methode werkt om een parametervoorstelling te vinden van de algemene oplossing van het hierboven beschreven stelsel lineaire vergelijkigen:
- Door een vergelijking, zeg #i_1#, te selecteren waar #x_1# in voorkomt (dat wil zeggen: de coëfficiënt #a_{i_1,1}# is ongelijk aan #0#) en vervolgens geschikte veelvouden van deze vergelijking van de andere vergelijkingen af te trekken, kunnen we er voor zorgen dat #x_1#verdwijnt uit alle andere vergelijkingen van het stelsel.
- Door vervolgens een andere vergelijking, zeg #i_2#, te selecteren, waar #x_2# in voorkomt (ofwel: #a_{i_2,2}\ne0#), kunnen we op vergelijkbare wijze ervoor zorgen dat #x_2# in geen andere vergelijking voorkomt. Als #x_2# niet in een andere vergelijking dan #i_1# voorkomt, gaan we meteen door met #x_3#. We gaan zo door tot alle onbekende aan bod zijn gekomen.
- De algemene oplossing van het stelsel vergelijkingen komt als volgt in parametervorm tot stand: De vergelijkingen #i_1#, #i_2,\ldots# (voorzover aanwezig) worden gebruikt om #x_1#, #x_2,\ldots# (voor zover aanwezig), uit te drukken in de overige onbekenden. Deze overige onbekenden kunnen vrij gekozen worden. In de algemene oplossing kunnen ze (of niet eerder gebruikte variabelen) fungeren als vrij te kiezen parameters.
Bekijk het stelsel \[\left\{\begin{array}{rrrrrrrrr}x&+&y&+&z&+&w&=&1\\ 2x&+&y&+&z&+&2w&=&4\end{array}\right.\] We zien dat #x# voorkomt in de eerste vergelijking. We tellen #-2# keer de eerste vergelijking op bij de tweede vergelijking (met andere woorden, we trekken tweemaal de eerste vergelijking van de tweede af). Dan krijgen we \[\left\{\begin{array}{rrrrrrrrr}x&+&y&+&z&+&w&=&1\\ &-&y&-&z&&&=&2\end{array}\right.\] Vervolgens werken we #y# weg uit alle vergelijkingen behalve de tweede: we tellen we in het zojuist verkregen stelsel de tweede vergelijking bij de eerste op: \[\left\{\begin{array}{rrrrrrrrr}x&&&&&+&w&=&3\\ &-&y&-&z&&&=&2\end{array}\right.\] Tenslotte vermenigvuldigen we de tweede vergelijking met #-1#: \[\left\{\begin{array}{rrrrrrrrr}x&&&&&+&w&=&3\\&&y&+&z&&&=&-2\end{array}\right.\] Nu is het stelsel in een vorm gebracht waarin we de oplossingen gemakkelijk kunnen aflezen en ook direct inzien dat er oneindig veel oplossingen zijn: je kunt \(z\) en \(w\) vrij kiezen, zeg \(z=r\) en \(w=s\) voor zekere \(r\) en \(s\), en \(x\) en \(y\) daarin uitdrukken: \[\lineqs{x&=&\phantom{-}3-s\cr y&=&-2-r\cr}\] In dit geval zijn \(r\) en \(s\) de vrije parameters; we zeggen ook wel dat er twee vrijheidsgraden zijn.
\(\phantom{x}\)
We kunnen ook de laatste stappen achterwege laten en stoppen wanneer we aanbeland zijn bij \[\left\{\begin{array}{rrrrrrrrr}x&+&y&+&z&+&w&=&1\\ &-&y&-&z&&&=&2\end{array}\right.\] Ook nu is al in te zien dat \(z\) en \(w\) vrij te kiezen zijn en \(x\) en \(y\) daarin uit te drukken zijn: als we namelijk in de tweede vergelijking \(y\) als onbekende beschouwen en \(z\) als parameter, dan is de oplossing van deze vergelijking \(y=-2-z\). Substitutie van deze uitdrukking voor #y# in de eerste vergelijking geeft dan \(x-2+w=1\), oftewel \(x=3-w\).
De bewerkingen die we gebruiken in deze methode beperken zich tot de eerst twee soorten elementaire bewerkingen:
- Het echte vegen, dat wil zeggen: het verminderen van het aantal voorkomens van #x_1#, #x_2,\ldots#, is gebaseerd op de tweede elementaire bewerking.
- Het herschrijven van de vergelijking met #x_1# in de vorm #x_1=\cdots# berust op de eerste elementaire bewerking.
In de volgende sectie introduceren we een verkorte notatie van stelsel lineaire vergelijkingen via matrices en wordt de veegmethode bondiger geformuleerd door rijreductie van matrices.
Hier zijn nog een paar voorbeelden van stelsels met twee of drie onbekenden.
Los het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met onbekenden \(x\) en \(y\) op. \[\lineqs{ 3 x-4 y&=&3\cr -3 x+6 y&=&-4 \cr}\]
- Als er geen oplossing is, schrijf dan #geen#
- Als er één oplossing is, schrijf dan #x=a\land y=b# voor geschikte getallen #a# en #b#
- Als er meerdere oplossingen zijn, druk dan de ene variabele in de andere uit
- Als alle waarden van #x# en #y# oplossingen zijn, schrijf dan #alle#
\( x={{1}\over{3}}\land y=-{{1}\over{2}} \)
Om dit in te zien starten we met het originele stelsel vergelijkingen \[\lineqs{ 3 x-4 y&=&3\cr -3 x+6 y&=&-4 \cr}\] en vervangen we de tweede vergelijking door het verschil van de bestaande en het veelvoud van de eerste vergelijking dat \(x\) doet verdwijnen (door #1# keer de eerste vergelijking bij de tweede op te tellen); Het stelsel wordt daardoor
\[\lineqs{ 3 x-4 y&=&3\cr 2 y&=&-1 \cr}\]Uit de tweede vergelijking wordt duidelijk dat \(y=-{{1}\over{2}}\). Substitutie van deze waarde voor \(y\) in de eerste vergelijking maakt die vergelijking tot een lineaire vergelijking met alleen \(x\), met als oplossing \(x={{1}\over{3}}\).
Elementaire bewerkingen op stelsels lineaire vergelijkingen
