We zagen dat orthonormale stelsels, en in het bijzonder orthonormale bases, erg handige eigenschappen hebben. Er bestaat een methode om vanuit een onafhankelijk stelsel vectoren in een inproductruimte een orthonormaal stelsel te construeren. De volgende stelling en het bewijs ervan maken dit duidelijk.
Laat #\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n# een onafhankelijk stelsel vectoren in een inproductruimte zijn. Er bestaat een orthonormaal stelsel #\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n# zodanig dat voor #i=1,\ldots, n# geldt: \[\linspan{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_i} = \linspan{\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_i}\]In het bijzonder heeft elke eindigdimensionale inproductruimte een orthonormale basis.
Een vector #\vec{a}_1# ongelijk aan de nulvector normaliseren we tot #\vec{e}_1=\frac{1}{\parallel \vec{a}_1\parallel }\vec{a}_1#, ook wel geschreven als #\frac{\vec{a}_1}{\parallel \vec{a}_1\parallel }#. Deze vector heeft lengte #1# en voldoet aan \(\linspan{\vec{a}_1} = \linspan{\vec{e}_1}\). Dit behandelt dus het geval #n=1# van de stelling.
De vector #\vec{e}_1# wijst in dezelfde richting als #\vec{a}_1# in de zin dat de scalar waarmee #\vec{a}_1# vermenigvuldigd wordt om #\vec{e}_1# te krijgen, positief is. We noemen #\vec{e}_1# de genormaliseerde van #\vec{a}_1#.
Als we de vector #\vec{e}_1# door normalisatie van #\vec{a}_1# berekend hebben, is de vector #\vec{e}_2# bepaald door de formule \[\vec{e}_2:=\frac{\vec{a}_2-(\dotprod{\vec{a}_2}{\vec{e}_1})\cdot \vec{e}_1}{\parallel \vec{a}_2-(\dotprod{\vec{a}_2}{\vec{e}_1})\cdot \vec{e}_1\parallel}\]
Het bewijs heeft een inductief karakter. We beginnen met het normaliseren van de vector #\vec{a}_1#:
\[\vec{e}_1:=\dfrac{\vec{a}_1}{\norm{\vec{a}_1}}\]
Het stelsel #\basis{\vec{e}_1}# is orthonormaal en #\linspan{\vec{a}_1} = \linspan{\vec{e}_1}#.
We nemen nu de inductiehypothese aan. Laat #i# een natuurlijk getal kleiner dan #n# zijn en veronderstel dat #\basis{\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_i}# een orthonormaal stelsel vormt dat voldoet aan #\linspan{\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_i} = \linspan{\vec{e}_1,\ldots ,\vec{e}_i}#.
We definiëren nu de vector #\vec{e}_{i+1}^{\,*} # door \[\vec{e}_{i+1}^{\,*}:=\vec{a}_{i+1}-\sum_{j=1}^i(\dotprod{\vec{a}_{i+1}}{\vec{e}_j})\cdot \vec{e}_j\]
Deze vector is ongelijk aan de nulvector omdat #\vec{a}_{i+1}# lineair onafhankelijk is van #{\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_i}# en dankzij de inductiehypothese dus ook van #{\vec{e}_1,\ldots ,\vec{e}_i}#.
De vectoren #\vec{e}_k#, met #k=1,\ldots, i#, staan loodrecht staat op de vector #\vec{e}_{i+1}^{\,*}#:
\[\begin{array}{rcl}\dotprod{\vec{e}_k}{\vec{e}_{i+1}^{\,*}}&=&\dotprod{\vec{e}_k}{(\vec{a}_{i+1}-\sum_{j=1}^i (\dotprod{\vec{a}_{i+1}}{\vec{e}_j})\cdot \vec{e}_j)}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie }\vec{e}_{i+1}^{\,*}}\\&=&\dotprod{\vec{e}_k}{\vec{a}_{i+1}}-\sum_{j=1}^i(\dotprod{\vec{a}_{i+1}}{\vec{e}_j})\cdot(\dotprod{\vec{e}_k}{ \vec{e}_j})\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{lineariteit inproduct}}\\&=&\dotprod{\vec{e}_k}{\vec{a}_{i+1}}-(\dotprod{\vec{a}_{i+1}}{\vec{e}_k})\cdot (\dotprod{\vec{e}_k}{\vec{e}_k})\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\dotprod{\vec{e}_{k}}{\vec{e}_j}=0\text{ als }j\ne k}\\&=&\dotprod{\vec{e}_k}{\vec{a}_{i+1}}-\dotprod{\vec{e}_k}{\vec{a}_{i+1}}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\dotprod{\vec{e}_{k}}{\vec{e}_k}=1\text{ en symmetrie inproduct }}\\&=&0\end{array}\]
De vector #\vec{e}_{i+1}# die we zoeken om het stelsel #\basis{\vec{e}_1,\ldots ,\vec{e}_i}# uit te breiden, wordt nu uit de vector #\vec{e}_{i+1}^{\,*}# verkregen door deze te normaliseren:\[\vec{e}_{i+1}:=\frac{\vec{e}_{i+1}^{\,*}}{\norm{\vec{e}_{i+1}^{\,*}}}\]
Omdat het inproduct met #\vec{e}_{i+1}# het quotiënt is van het inproduct met #\vec{e}_{i+1}^{\,*}# en #\norm{\vec{e}_{i+1}^{\,*}}#, is ook #\dotprod{\vec{e}_k}{\vec{e}_{i+1}}= 0# voor #k=1,\ldots, i#. We zien dat het stelsel #\basis{\vec{e}_1,\ldots ,\vec{e}_{i+1}}# orthonormaal is. Dat het opspansel hiervan gelijk is aan #\linspan{\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_{i+1}}# volgt direct uit het feit dat #\linspan{\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_i}# samenvalt met #\linspan{\vec{e}_1^{\,*},\ldots,\vec{e}_i^{\,*}}# (dankzij uitspraak 2 van Standaardbewerkingen met opspannende stellen) en het feit dat #\vec{e}_{i}^{\,*}# de som is van #\vec{a}_i# en een lineaire combinatie van #\vec{e}_{1},\ldots,\vec{e}_{i-1}# (zie uitspraak 3 van Standaardbewerkingen met opspannende stellen):
\[\begin{array}{rcl}\linspan{\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_{i+1}} &=& \linspan{\vec{e}_1 ,\ldots ,\vec{e}_i, \vec{a}_{i+1}}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\linspan{\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_i}=\linspan{\vec{e}_1 ,\ldots ,\vec{e}_i}}\\&=& \linspan{\vec{e}_1 ,\ldots ,\vec{e}_i,\vec{e}_{i+1}^{\,*}}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\vec{a}_{i+1}=\vec{e}_{i+1}^{\,*}+\sum_{j=1}^i(\dotprod{\vec{a}_{i+1}}{\vec{e}_j})\cdot \vec{e}_j}\\&=& \linspan{\vec{e}_1 ,\ldots ,\vec{e}_i,\vec{e}_{i+1}}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\linspan{\vec{e}_{i+1}^{\,*}}=\linspan{\vec{e}_{i+1}}} \end{array}\]
Dit bewijst de uitspraak over de omvorming van een onafhankelijk stelsel tot een orthonormaal stelsel.
In het bijzonder kunnen we een eindige basis voor de vectorruimte omvormen tot een orthonormale basis. Omdat we eerder gezien hebben dat iedere eindigdimensionale vectorruimte een basis heeft, kunnen we concluderen dat we voor iedere eindigdimensionale inproductruimte ook een orthonormale basis hebben.
Het bewijs van deze stelling laat ook zien dat het orthonormale stelsel ook daadwerkelijk te construeren is uit een gegeven onafhankelijk stelsel.
Het volgende algoritme vormt een gegeven onafhankelijk stelsel #\basis{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n}# in een inproductruimte #V# om tot een orthonormaal stelsel #\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n# zodanig dat voor #i=1,\ldots, n# geldt \[\linspan{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_i} = \linspan{\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_i}\]
Begin met \[\vec{e}_1:=\dfrac{\vec{a}_1}{\norm{\vec{a}_1}}\]
Voer voor #i=1,\ldots,n-1# de volgende twee stappen uit:
\[\begin{array}{rcl}\vec{e}_{i+1}^{\,*}&:=&\vec{a}_{i+1}-\sum_{j=1}^i(\dotprod{\vec{a}_{i+1}}{\vec{e}_j})\cdot \vec{e}_j\\ \vec{e}_{i+1}&:=&\dfrac{\vec{e}_{i+1}^{\,*}}{\norm{\vec{e}_{i+1}^{\,*}}}\end{array}\]
Dit is een direct gevolg van het bewijs van de Gram-Schmidt stelling.
We bekijken #\mathbb{R}^3# met het standaardinproduct. Stel dat twee vectoren zijn gegeven door \[\vec{a}_1=\rv{2,0,2}\quad\text{en}\quad\vec{a}_2=\rv{1,1,1}\] We gaan hier het Gram-Schmidt algoritme op toepassen. Als eerste stap construeren we de vector #\vec{e}_1# door de vector #\vec{a}_1# te normaliseren. De norm #\parallel \vec{a}_1 \parallel# wordt gegeven door \[\norm{\vec{a}_1}=\sqrt{\dotprod{\vec{a}_1}{\vec{a}_1}}=\sqrt{\dotprod{\rv{2,0,2}}{\rv{2,0,2}}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\]
De vector #\vec{e}_1# wordt dus gegeven door \[\vec{e}_1=\frac{1}{\norm{\vec{a}_1}}\cdot \vec{a}_1 = \frac{1}{2\sqrt 2}\cdot \rv{2,0,2}=\rv{\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}}}\]
We vormen nu de vector #\vec{e}_2^{\,*}# volgens het algoritme. \[\vec{e}_2^{\,*}=\vec{a}_2-(\dotprod{\vec{a}_2}{\vec{e}_1})\vec{e}_1=\rv{1,1,1}-\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot\rv{\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}}}=\rv{1,1,1}-\rv{1,0,1}=\rv{0,1,0}\]
We zien dat de norm van #\vec{e}_2^{\,*}# al gelijk is aan #1#, zodat #\vec{e}_2=\vec{e}_2^{\,*}#. Het orthonormale stelsel wordt uiteindelijk gegeven door \[\vec{e}_1=\rv{\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}}}\quad\text{en}\quad\vec{e}_2=\rv{0,1,0}\]
Het berekenen van de vector in #\linspan{\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_{i+1}}# die loodrecht staat op de ruimte #\linspan{\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_i}# speelt ook een rol in het begrip orthogonale projectie, waar we later uitgebreid op in gaan.
Als #\basis{\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_k}# een orthonormaal stelsel is in een inproductruimte van eindige dimensie #n#, dan is het stelsel aan te vullen tot een orthonormale basis van die inproductruimte. Kies maar een aanvulling #\basis{\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_k,\vec{a}_{k+1},\ldots,\vec{a}_n}# tot een basis (dit is mogelijk volgens de stelling Groeicriterium voor onafhankelijkheid) en pas de Gram-Schmidt procedure toe op deze basis.
Gebruik de Gram-Schmidt procedure om een orthonormale basis te vinden van \[\linspan{\cv{2\\ 2\\ 1\\ -2},\cv{4\\ 2\\ 2\\ -6},\cv{9\\ 2\\ 7\\ -18} }\]
Geef je antwoord als lijst van rijvectoren.
\( \basis{\rv{\frac{2}{13}\sqrt{13},\frac{2}{13}\sqrt{13},\frac{1}{13}\sqrt{13},-\frac{2}{13}\sqrt{13}}, \rv{0,-\frac{1}{2}\sqrt{2},0,-\frac{1}{2}\sqrt{2}},\rv{-\frac{1}{5}\sqrt{5},0,\frac{2}{5}\sqrt{5},0}}\)
We volgen de stappen van de Gram-Schmidt procedure:
- Het normaliseren van de eerste vector. De lengte van \(\rv{2,2,1,-2}\) is gelijk aan \(\sqrt{13}\). De eerste vector van onze orthonormale basis wordt dus \[ \vec{e}_1 = \frac{1}{\sqrt{13}}\cv{2\\2\\1\\-2}=\cv{\frac{2}{13}\sqrt{13}\\\frac{2}{13}\sqrt{13}\\\frac{1}{13}\sqrt{13}\\-\frac{2}{13}\sqrt{13}}\]
- De tweede vector loodrecht op de eerste zetten. Het inproduct van de tweede vector met \(\vec {e}_1\) is gelijk aan \[ \begin{array}{rcl}\dotprod{\frac{1}{\sqrt{13}}\cv{2\\ 2\\ 1\\ -2} }{ \cv{4\\ 2\\ 2\\ -6} }&=& \frac{1}{\sqrt{13}}\left( 2\cdot4 + 2\cdot 2 + 1\cdot 2 -2\cdot (-6) \right)\\& =& \frac{1}{\sqrt{13}}\cdot 26\\ &=&2\sqrt{13}\end{array}\] De nieuwe richting van de tweede vector wordt dus \[ \cv{4\\2\\2\\-6} - 2\sqrt{13} \cdot \frac{1}{\sqrt{13}}\cv{2\\2\\1\\-2}=\cv{0\\-2\\0\\-2}\]
- Het normaliseren van de tweede vector. De lengte van \(\rv{0,-2,0,-2}\) is gelijk aan \(2\sqrt{2}\). We krijgen dus \[ \vec{e}_2 = \frac{1}{2\sqrt{2}}\cv{0\\-2\\0\\-2} = \cv{0\\-\frac{1}{2}\sqrt{2}\\0\\-\frac{1}{2}\sqrt{2}} \]
- De derde vector loodrecht op de eerste twee zetten. Het inproduct van de derde vector met \(\vec{e}_1\) is gelijk aan \[ \begin{array}{rcl} \frac{1}{\sqrt{13}}\dotprod{\cv{2\\2\\1\\-2}}{\cv{9\\2\\7\\-18}}&=& \frac{1}{\sqrt{13}}\left( 2\cdot9+ 2\cdot2+1\cdot7-2\cdot (-18) \right) \\ &=& \frac{1}{\sqrt{13}}\cdot 65\\ &=&5\sqrt{13}\end{array} \] en het inproduct van de derde vector met \(\vec{e}_2\) is gelijk aan \[\begin{array}{rcl} \frac{1}{2\sqrt{2}}\dotprod{\cv{0\\-2\\0\\-2}}{\cv{9\\2\\7\\-18}} &=& \frac{1}{2\sqrt{2}}\left(0\cdot9-2\cdot2 +0\cdot7-2\cdot (-18) \right)\\& =& \frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot 32\\&=&8\sqrt{2}\end{array}\] De nieuwe richting van de derde vector wordt dus \[ \cv{9\\2\\7\\-18}-5\sqrt{13}\cdot \frac{1}{\sqrt{13}}\cv{2\\2\\1\\-2} - 8\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}}\cv{0\\-2\\0\\-2} \] en wanneer we dit vereenvoudigen krijgen we \[\cv{9\\2\\7\\-18}-5\cv{2\\2\\1\\-2}-4\cv{0\\-2\\0\\-2}=\cv{-1\\0\\2\\0}\]
- Het normaliseren van de derde vector. De lengte van \(\rv{-1, 0, 2, 0}\) is gelijk aan \(\sqrt{5}\), dus de laatste vector van onze basis wordt \[ \vec{e}_3=\frac{1}{\sqrt{5}}\cv{-1\\0\\2\\0} = \cv{-\frac{1}{5}\sqrt{5}\\0\\\frac{2}{5}\sqrt{5}\\0}\]
Hiermee is de berekening van de orthonormale basis \(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\) voltooid. Het antwoord is \[
\basis{\rv{\frac{2}{13}\sqrt{13},\frac{2}{13}\sqrt{13},\frac{1}{13}\sqrt{13},-\frac{2}{13}\sqrt{13}}, \rv{0,-\frac{1}{2}\sqrt{2},0,-\frac{1}{2}\sqrt{2}},\rv{-\frac{1}{5}\sqrt{5},0,\frac{2}{5}\sqrt{5},0}}
\]
Orthonormale bases maken
