Inproductruimten: Complexe inproductruimten
Orthogonale complementen in complexe inproductruimten
De theorie over orthogonaliteit in het complexe geval heeft veel overeenkomsten met de reële situatie.
Loodrechtheid
Laat #V# een complexe inproductruimte zijn.
- Stel dat #W# een lineaire deelruimte van #V# is. Het orthogonale complement van #W# in #V# is de verzameling
\[
W^\perp =\left\{\vec{x}\in V\mid \dotprod{\vec{x}}{\vec{w}}=0\ \text{ voor alle }\ \vec{w}\in W\right\}
\]Dit is een lineaire deelruimte van #V# die met #W# alleen #\vec{0}# gemeen heeft. - Als #\vec{x}# een vector van #V# is en #W# een eindigdimensionale lineaire deelruimte van #V#, dan is er een unieke vector #\vec{y}# in #W# zodanig dat #\vec{x}-\vec{y}# loodrecht staat op #W#. We noemen deze vector de loodrechte projectie van #\vec{x}# op #W# en noteren hem vaak met #P_W(\vec{x})#.
We vatten enkele resultaten en eigenschappen samen met betrekking tot de loodrechte projectie en loodrechte vectoren. De definitie van een orthonormale basis komt overeen met die in het reële geval, we zullen hier later dieper op in gaan.
Laat #V# een complexe inproductruimte zijn en #W# een deelruimte van #V#. Stel dat #\basis{\vec{a}_1, \ldots ,\vec{a}_k}# een orthonormale basis van #W# is voor een natuurlijk getal #k#. Dan gelden de volgende uitspraken.
- Twee willekeurige vectoren #\vec{a}# en #\vec{b}# staan loodrecht op elkaar dan en slechts dan als\[\norm{\vec{a}+\vec{b}}^2 = \norm{\vec{a}}^2+\norm{\vec{b}}^2\]
- Als de vectoren #\vec{a}_1 \ldots ,\vec{a}_k# onderling loodrecht staan, dat wil zeggen: #\dotprod{\vec{a}_i}{\vec{a}_j }=0# als #i\neq j#, dan geldt
\[\norm{\vec{a}_1+\cdots + \vec{a}_k}^2 =\norm{\vec{a}_1}^2 +
\cdots + \norm{\vec{a}_k}^2\] - #\vec{x}-P_W(\vec{x})# staat loodrecht op iedere vector uit #W#.
- De loodrechte projectie #P_W(\vec{x})# wordt gegeven door #(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_1})\vec{a}_1 + \cdots +(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_k})\vec{a}_k#.
- #\norm{\vec{x}-P_W(\vec{x})}=\min_{\vec{z}\in W} \norm{\vec{x}-\vec{z}}#, dat wil zeggen: de afstand van #\vec{x}# tot een vector uit #W# is minimaal voor #P_W(\vec{x})#.
- De loodrechte projectie is de unieke vector waarvoor dit minimum optreedt.
- #\norm{P_W(\vec{x})}\leq\norm{\vec{x}}# met gelijkheid dan en slechts dan als #\vec{x}=P_W(\vec{x})#.
- Er geldt #P_W(\vec{x})=\vec{x}# dan en slechts dan #\vec{x}# tot #W# behoort.
Tot slot geven we een uitgedunde versie van de dimensieformule zoals deze eerder aan bod kwam voor het reële geval.
Dimensieformule
Laat #V# een eindigdimensionale complexe inproductruimte zijn. Voor iedere lineaire deelruimte #W# van #V#geldt \[ \dim{V}=\dim{W}+\dim{W^{\perp}}\]
Om een orthonormale basis van #W# te verkrijgen, normaliseren we de vector # \rv{ 1 , \complexi } #: \[\frac{1}{\norm{\rv{ 1 , \complexi } }} \cdot \rv{ 1 , \complexi } = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \rv{ 1 , \complexi } =\rv{ {{1}\over{\sqrt{2}}} , {{\complexi}\over{\sqrt{2}}} } \]Vervolgens berekenen we het inproduct van #\vec{x} # met deze vector: \[ \begin{array}{rcl}\displaystyle\dotprod{\vec{x}}{\rv{ {{1}\over{\sqrt{2}}} , {{\complexi}\over{\sqrt{2}}} } }&=&\displaystyle\dotprod{\left[ -1 , -2\, \complexi \right] }{ \rv{ {{1}\over{\sqrt{2}}} , {{\complexi}\over{\sqrt{2}}} } }\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{vector }\vec{x}\text{ ingevuld}}\\
&=&\displaystyle (-1)\cdot\overline{{{1}\over{\sqrt{2}}}}+(-2\cdot \complexi)\cdot\overline{{{\complexi}\over{\sqrt{2}}}}\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie complex inproduct}}\\
&=&\displaystyle -{{3}\over{\sqrt{2}}} \\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}
\end{array}\]
We krijgen nu de loodrechte projectie door dit inproduct als coëfficiënt van de genormaliseerde basisvector van #W# te nemen: \[P_W(\vec{x})=-{{3}\over{\sqrt{2}}} \cdot {\rv{ {{1}\over{\sqrt{2}}} , {{\complexi}\over{\sqrt{2}}} } }=\left[ -{{3}\over{2}} , -{{3\, \complexi}\over{2}} \right] \]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.