Orthogonale complementen in complexe inproductruimten

Inproductruimten: Complexe inproductruimten

Orthogonale complementen in complexe inproductruimten

De theorie over orthogonaliteit in het complexe geval heeft veel overeenkomsten met de reële situatie.

Loodrechtheid
Laat #V# een complexe inproductruimte zijn.

Stel dat #W# een lineaire deelruimte van #V# is. Het orthogonale complement van #W# in #V# is de verzameling
\[
W^\perp =\left\{\vec{x}\in V\mid \dotprod{\vec{x}}{\vec{w}}=0\ \text{ voor alle }\ \vec{w}\in W\right\}
\]Dit is een lineaire deelruimte van #V# die met #W# alleen #\vec{0}# gemeen heeft.
Als #\vec{x}# een vector van #V# is en #W# een eindigdimensionale lineaire deelruimte van #V#, dan is er een unieke vector #\vec{y}# in #W# zodanig dat #\vec{x}-\vec{y}# loodrecht staat op #W#. We noemen deze vector de loodrechte projectie van #\vec{x}# op #W# en noteren hem vaak met #P_W(\vec{x})#.

1. Het bewijs dat #W^\perp# een lineaire deelruimte van #V# is en het bewijs van #W\cap W^\perp = \{\vec{0}\}# wijken nauwelijks af van het bewijs voor het reële geval.

2. Het bewijs in het reële geval dat de loodrechte projectie bestaat en uniek is, gaat onverminderd door in het complexe geval.

Affiene deelruimten

Laat #n# een natuurlijk getal zijn. Als #\vec{a}# een vector is van een #n#-dimensionale inproductruimte #V# en #g# een getal, dan is

\[\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}} = g\] een vergelijking in de onbekende vector #{\vec{x}}# met als oplossingsverzameling een affiene deelruimte #W# van dimensie #n-1#. De deelruimte #{\vec{a}}^\perp# is de richtingsruimte van #W#. Als we #V=\mathbb{C}^n# nemen en #\vec{x}=\rv{x_1,\ldots,x_n}# en #\vec{a}=\rv{a_1,\ldots,a_n}# schrijven, dan wordt de vergelijking voor #W# \[\overline{a_1}\cdot x_1+\cdots+\overline{a_n}\cdot x_n = g\]De coëfficiënten van de variabelen zijn dus de complex geconjugeerden van de coördinaten van de normaalvector.

We vatten enkele resultaten en eigenschappen samen met betrekking tot de loodrechte projectie en loodrechte vectoren. De definitie van een orthonormale basis komt overeen met die in het reële geval, we zullen hier later dieper op in gaan.

Laat #V# een complexe inproductruimte zijn en #W# een deelruimte van #V#. Stel dat #\basis{\vec{a}_1, \ldots ,\vec{a}_k}# een orthonormale basis van #W# is voor een natuurlijk getal #k#. Dan gelden de volgende uitspraken.

Twee willekeurige vectoren #\vec{a}# en #\vec{b}# staan loodrecht op elkaar dan en slechts dan als\[\norm{\vec{a}+\vec{b}}^2 = \norm{\vec{a}}^2+\norm{\vec{b}}^2\]
Als de vectoren #\vec{a}_1 \ldots ,\vec{a}_k# onderling loodrecht staan, dat wil zeggen: #\dotprod{\vec{a}_i}{\vec{a}_j }=0# als #i\neq j#, dan geldt
\[\norm{\vec{a}_1+\cdots + \vec{a}_k}^2 =\norm{\vec{a}_1}^2 +
\cdots + \norm{\vec{a}_k}^2\]
#\vec{x}-P_W(\vec{x})# staat loodrecht op iedere vector uit #W#.
De loodrechte projectie #P_W(\vec{x})# wordt gegeven door #(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_1})\vec{a}_1 + \cdots +(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_k})\vec{a}_k#.
#\norm{\vec{x}-P_W(\vec{x})}=\min_{\vec{z}\in W} \norm{\vec{x}-\vec{z}}#, dat wil zeggen: de afstand van #\vec{x}# tot een vector uit #W# is minimaal voor #P_W(\vec{x})#.
De loodrechte projectie is de unieke vector waarvoor dit minimum optreedt.
#\norm{P_W(\vec{x})}\leq\norm{\vec{x}}# met gelijkheid dan en slechts dan als #\vec{x}=P_W(\vec{x})#.
Er geldt #P_W(\vec{x})=\vec{x}# dan en slechts dan #\vec{x}# tot #W# behoort.

Voor het reële geval worden de eerste twee onderdelen hier bewezen, en de andere zes hier. Voor het complexe geval zijn deze bewijzen nagenoeg gelijk.

Tot slot geven we een uitgedunde versie van de dimensieformule zoals deze eerder aan bod kwam voor het reële geval.

Dimensieformule

Laat #V# een eindigdimensionale complexe inproductruimte zijn. Voor iedere lineaire deelruimte #W# van #V#geldt \[ \dim{V}=\dim{W}+\dim{W^{\perp}}\]

Het bewijs van deze formule gaat net als in het reële geval.

Bekijk #\mathbb{C}^2# met het standaardinproduct. Laat #W# de deelruimte zijn voortgebracht door de vector # \rv{ 1 , \complexi } #.

Bepaal de loodrechte projectie #P_W(\vec{x})# van de vector #\vec{x}=\left[ -1 , -2\, \complexi \right] # op #W#.

#P_W(\vec{x})=# #\left[ -{{3}\over{2}} , -{{3\, \complexi}\over{2}} \right] #

Om een orthonormale basis van #W# te verkrijgen, normaliseren we de vector # \rv{ 1 , \complexi } #: \[\frac{1}{\norm{\rv{ 1 , \complexi } }} \cdot \rv{ 1 , \complexi } = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \rv{ 1 , \complexi } =\rv{ {{1}\over{\sqrt{2}}} , {{\complexi}\over{\sqrt{2}}} } \]Vervolgens berekenen we het inproduct van #\vec{x} # met deze vector: \[ \begin{array}{rcl}\displaystyle\dotprod{\vec{x}}{\rv{ {{1}\over{\sqrt{2}}} , {{\complexi}\over{\sqrt{2}}} } }&=&\displaystyle\dotprod{\left[ -1 , -2\, \complexi \right] }{ \rv{ {{1}\over{\sqrt{2}}} , {{\complexi}\over{\sqrt{2}}} } }\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{vector }\vec{x}\text{ ingevuld}}\\
&=&\displaystyle (-1)\cdot\overline{{{1}\over{\sqrt{2}}}}+(-2\cdot \complexi)\cdot\overline{{{\complexi}\over{\sqrt{2}}}}\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie complex inproduct}}\\
&=&\displaystyle -{{3}\over{\sqrt{2}}} \\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}
\end{array}\]
We krijgen nu de loodrechte projectie door dit inproduct als coëfficiënt van de genormaliseerde basisvector van #W# te nemen: \[P_W(\vec{x})=-{{3}\over{\sqrt{2}}} \cdot {\rv{ {{1}\over{\sqrt{2}}} , {{\complexi}\over{\sqrt{2}}} } }=\left[ -{{3}\over{2}} , -{{3\, \complexi}\over{2}} \right] \]

Nieuw voorbeeld