Gram-Schmidt in complexe inproductruimten

Inproductruimten: Complexe inproductruimten

Gram-Schmidt in complexe inproductruimten

Voor eindigdimensionale complexe inproductruimten zijn er een Gram-Schmidt-procedure en een QR-ontbinding die nauwelijks afwijken van het reële geval. Hier bespreken we deze resultaten in het kort.

Gram-Schmidt

Als #\basis{a_1,\ldots,a_n}# een onafhankelijk stelsel vectoren in een complexe inproductruimte #V# is, dan kunnen we als volgt een orthonormaal stelsel #\basis{\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n}# vinden zodanig dat voor iedere #i=1,\ldots, n# geldt \[ \linspan{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_i}=\linspan{\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_i}\]

Begin met \[\vec{e}_1:=\dfrac{\vec{a}_1}{\norm{ \vec{a}_1}}\]Voer voor #i=1,\ldots,n-1# de volgende twee stappen uit:\[\begin{array}{rcl}\vec{e}_{i+1}^{\,*}&:=&\vec{a}_{i+1}-\sum_{j=1}^i(\dotprod{\vec{a}_{i+1}}{\vec{e}_j})\cdot \vec{e}_j\\ \vec{e}_{i+1}&:=&\dfrac{\vec{e}_{i+1}^{\,*}}{\norm{\vec{e}_{i+1}^{\,*}}}\end{array}\]

In het bijzonder heeft elke eindigdimensionale complexe inproductruimte een orthonormale basis.

Het bewijs voor het reële geval gaat onverminderd door.

Eén vectorAls we een vector #\vec{v}# ongelijk aan de nulvector delen door zijn lengte, krijgen we de genormaliseerde van #\vec{v}#. In het reële geval zijn deze vector en zijn negatieve de enige vectoren in #\linspan{\vec{v}}# van lengte #1#. In het complexe geval zijn er meer.

Voor de matrixvorm van dit resultaat hebben we de matrix #Q^*# nodig die uit een matrix #Q# verkregen wordt door te transponeren en de elementen complex te conjugeren. Als #\overline{Q}# de matrix aangeeft die uit #Q# ontstaat als alle elementen ervan complex geconjugeerd worden, dan geldt dus \[Q^* = \overline{Q^\top} = {\overline{Q}}^\top\]

QR-ontbinding

Laat #A# een #(m\times n)#-matrix zijn met #n# onafhankelijke kolommen #a_1,\ldots,a_n#. Dan kan deze matrix geschreven worden als het product \[ A=Q\,R \] waarbij #R# een #(m\times n)#-bovendriehoeksmatrix is en de kolommen van de #(m\times m)#-matrix #Q# een orthonormaal stelsel vormen. Deze schrijfwijze heet een QR-ontbinding van #A#.

Deze ontbinding kan gevonden worden door het Gram-Schmidt algoritme uit te voeren op de kolommen van #A# en de zo ontstane matrix aan te vullen tot een #(m\times m)#-matrix met een orthonormale basis van het complement van het opspansel van de kolommen van #A#. De matrix #R# wordt dan gegeven door #R={Q}^*\,A#.

Het bewijs voor het reële geval van de QR-ontbinding behoeft een aanpassing voor wat betreft complexe conjugatie, maar afgezien daarvan gaat het geheel door voor het complexe geval.

Uit #Q^*\, Q = I_m# volgt \[{Q}^*\,A ={Q}^*\,Q\, R=I_m R = R\]

Diagonaal van RAls de kolommen van #Q# bestaan uit het resultaat van de Gram-Schmidt procedure, dan zijn de diagonale elementen ongelijk aan #0# van #R# de lengten van de vectoren #\vec{e}_i^{\,*}# uit de procedure. In het bijzonder zijn ze dan reëel en positief.

Bekijk het stelsel vectoren #\basis{\vec{a}_1,\vec{a}_2}# in #\mathbb{C}^3# gegeven door\[
\vec{a}_1=\left[ 1 , 0 , -2 \complexi \right] ,\quad \vec{a}_2=\left[ 2 \complexi , -2 , 0 \right] \]Pas de Gram-Schmidt procedure toe om dit stelsel om te schrijven naar een orthonormaal stelsel #\basis{\vec{q}_1,\vec{q}_2}#. Geef je antwoord in de vorm van een lijst van rijvectoren.

#\{\vec{q}_1,\vec{q}_2\}=# #\left\{\left[ {{1}\over{\sqrt{5}}} , 0 , -{{2 \complexi}\over{\sqrt{5}}} \right] ,\left[ {{4 \complexi}\over{3 \sqrt{5}}} , -{{\sqrt{5}}\over{3}} , -{{2}\over{3 \sqrt{5}}} \right] \right\}#

We berekenen de norm van de vector #\vec{a}_1#:\[\norm{\vec{a}_1}=\sqrt{\dotprod{\vec{a}_1}{\vec{a}_1}}=\sqrt{\dotprod{\left[ 1 , 0 , -2 \complexi \right] }{\left[ 1 , 0 , -2 \complexi \right] }}=\sqrt{5}\]We verkrijgen de vector #\vec{q}_1# door #\vec{a}_1# te delen door zijn norm.\[\vec{q}_1=\frac{1}{\norm{\vec{a}_1}}\vec{a}_1=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[ 1 , 0 , -2 \complexi \right] =\left[ {{1}\over{\sqrt{5}}} , 0 , -{{2 \complexi}\over{\sqrt{5}}} \right] \]Om de vector #\vec{a}_2# te vervangen door een vector # \vec{q}_2^{\,*}# loodrecht op de eerste vector berekenen we het inproduct #\dotprod{\vec{a}_2}{\vec{q}_1}#:\[\dotprod{\vec{a}_2}{\vec{q}_1}=\dotprod{\left[ 2 \complexi , -2 , 0 \right] }{\left[ {{1}\over{\sqrt{5}}} , 0 , -{{2 \complexi}\over{\sqrt{5}}} \right] }={{2\cdot \complexi}\over{\sqrt{5}}}\]De vector #\vec{q}_2^{\,*}# wordt nu gegeven door \[\vec{q}_2^{\,*}=\vec{a}_2-(\dotprod{\vec{a}_2}{\vec{q}_1})\vec{q}_1=\left[ 2 \complexi , -2 , 0 \right] -{{2\cdot \complexi}\over{\sqrt{5}}} \left[ {{1}\over{\sqrt{5}}} , 0 , -{{2 \complexi}\over{\sqrt{5}}} \right] =\left[ {{8 \complexi}\over{5}} , -2 , -{{4}\over{5}} \right] \] Het rest ons nu om de vector #\vec{q}_2^{\,*}# te normaliseren. Hiervoor berekenen we eerst zijn norm: \[\norm{ \vec{q}_2^{\,*}}=\sqrt{\dotprod{\vec{q}_2^{\,*}}{\vec{q}_2^{\,*}}}=\dotprod{\left[ {{8 \complexi}\over{5}} , -2 , -{{4}\over{5}} \right] }{\left[ {{8 \complexi}\over{5}} , -2 , -{{4}\over{5}} \right] }={{6}\over{\sqrt{5}}}\] We verkrijgen nu de vector #\vec{q}_2# door de vector #\vec{q}_2^{\,*}# te delen door zijn norm:\[\vec{q}_2=\frac{1}{\norm{\vec{q}_2^{\,*}}}\vec{q}_2^{\,*}=\frac{1}{{{6}\over{\sqrt{5}}}}\left[ {{8 \complexi}\over{5}} , -2 , -{{4}\over{5}} \right] =\left[ {{4 \complexi}\over{3 \sqrt{5}}} , -{{\sqrt{5}}\over{3}} , -{{2}\over{3 \sqrt{5}}} \right] \] Het antwoord is dus \[\left\{\vec{q}_1,\vec{q}_2\right\}=\left\{\left[ {{1}\over{\sqrt{5}}} , 0 , -{{2 \complexi}\over{\sqrt{5}}} \right] ,\left[ {{4 \complexi}\over{3 \sqrt{5}}} , -{{\sqrt{5}}\over{3}} , -{{2}\over{3 \sqrt{5}}} \right] \right\}\]

Nieuw voorbeeld