Laat #\vec{u}# en #\varphi# zijn als in de definitie van #\vec{v}\times\vec{w}#.

1. #\vec{v}\times \vec{v} = \vec{0}# is een onderdeel van de definitie van het uitproduct.

2. #\vec{v}\times \vec{w}# is een scalair veelvoud van #\vec{u}#. Deze vector staat loodrecht op #\vec{v}# en #\vec{w}#, dus ook #\vec{v}\times \vec{w}#.

3. Bij verwisseling van #\vec{v}# en #\vec{w}# blijft de hoek #\varphi# gelijk, evenals de lengtes van #\vec{v}# en #\vec{w}#. Maar het teken verandert omdat #\vec{u}# in de tegengestelde vector #-\vec{u}# overgaat vanwege de rechterhandregel.

4. Als #\lambda=0# dan zijn alle onderdelen gelijk aan #0# en zijn we klaar met het bewijs. Veronderstel daarom dat #\lambda# niet gelijk aan #0# is. Met #\varphi'# bedoelen we de hoek tussen #\vec{v}# en #\lambda\cdot\vec{w}# en met #\vec{u}'# bedoelen we de eenheidsvector die loodrecht staat op #\vec{v}# en #\lambda\cdot\vec{w}# en in de richting wijst zodat #\vec{v}#, #\lambda\cdot\vec{w}#, #\vec{u}'# rechtshandig is. Als #\lambda\gt0# dan geldt #\varphi'=\varphi#, #\vec{u}'=\vec{u}# en #|\lambda|=\lambda#, zodat\[\begin{array}{rcl}\vec{v}\times\left(\lambda\cdot\vec{w}\right) &=& \parallel\vec{v}\parallel\cdot\parallel\lambda\cdot\vec{w}\parallel\cdot\sin(\varphi')\cdot\vec{u}'\\ &=&|\lambda|\cdot\parallel\vec{v}\parallel\cdot\parallel\vec{w}\parallel\cdot\sin(\varphi)\cdot\vec{u}\\ &=&\lambda\cdot\parallel\vec{v}\parallel\cdot\parallel\vec{w}\parallel\cdot\sin(\varphi)\cdot\vec{u}\\ &=&\lambda\cdot\left(\vec{v}\times\vec{w}\right)\end{array}\]Als #\lambda\lt0# dan geldt #\varphi'=180^\circ-\varphi#, #\vec{u}'=-\vec{u}# en #|\lambda|=-\lambda#, zodat\[\begin{array}{rcl}\vec{v}\times\left(\lambda\cdot\vec{w}\right) &=& \parallel\vec{v}\parallel\cdot\parallel\lambda\cdot\vec{w}\parallel\cdot\sin\left(\varphi'\right)\cdot\vec{u}'\\ &=&|\lambda|\cdot\parallel\vec{v}\parallel\cdot\parallel\vec{w}\parallel\cdot\sin\left(180^\circ-\varphi\right)\cdot(-\vec{u})\\ &=&\lambda\cdot\parallel\vec{v}\parallel\cdot\parallel\vec{w}\parallel\cdot\sin(\varphi)\cdot\vec{u}\\ &=&\lambda\cdot\left(\vec{v}\times\vec{w}\right)\end{array}\]We concluderen dat in alle gevallen #\vec{v}\times\left(\lambda\cdot\vec{w}\right) = \lambda\cdot\left(\vec{v}\times\vec{w}\right)# geldt. De andere gelijkheid kan net zo bewezen worden.

5. Om de wet #\vec{x}\times(\vec{v}+\vec{w}) = (\vec{x}\times \vec{v}) + (\vec{x}\times \vec{w})# af te leiden, gebruiken we de parallellepipedumregel en de additiviteit van het inproduct. Voor een willekeurige vector #\vec{y}# geldt\[\begin{array}{rcl}\left(\vec{x}\times\left(\vec{v}+\vec{w}\right)\right)\cdot\vec{y} &=&-\left(\vec{x}\times\vec{y}\right) \cdot \left(\vec{v}+ \vec{w})\right)\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{parallellepipedum }}\\&=&-(\vec{x}\times \vec{y})\cdot\vec{v}-(\vec{x}\times \vec{y})\cdot\vec{w}\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{additiviteit inproduct}}\\&=&(\vec{x}\times \vec{v})\cdot\vec{y}+(\vec{x}\times \vec{w})\cdot\vec{y}\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{parallellepipedum}}\\&=&\left((\vec{x}\times \vec{v})+(\vec{x}\times \vec{w})\right)\cdot\vec{y}\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{additiviteit inproduct}}\\\end{array}\]Trekken we het rechter lid van het linker lid af en passen we additiviteit en gemengde associativiteit ten opzichte van de scalar #-1# toe, dan vinden we dat, voor elke vector #\vec{y}#:\[\left(\left(\vec{x}\times\left(\vec{v}+\vec{w}\right)\right)-\left((\vec{x}\times \vec{v})+(\vec{x}\times \vec{w})\right)\right)\cdot\vec{y}=0.\]De vector #\left(\vec{x}\times\left(\vec{v}+\vec{w}\right)\right)-\left((\vec{x}\times \vec{v})+(\vec{x}\times \vec{w})\right)# staat dus loodrecht op elke vector van de ruimte. De enige vector die hieraan voldoet is de nulvector, dus\[\vec{x}\times\left(\vec{v}+\vec{w}\right)-\left((\vec{x}\times \vec{v})+(\vec{x}\times \vec{w})\right)=0\]De te bewijzen uitspraak volgt hieruit door de tweede term naar rechts te brengen.

6. Per definitie is het uitproduct van #\vec{v}# en #\vec{w}# gelijk aan #\vec{0}# als #\vec{v}# en #\vec{w}# samen met #\vec{0}# op één lijn liggen. Stel dat #\vec{v}# en #\vec{w}# niet samen met #\vec{0}# op één lijn liggen. Dan is #\vec{u}# een vector van lengte #1#, en is het uitproduct een scalair veelvoud hiervan dat het product is van de drie factoren #\parallel\vec{v}\parallel#, #\parallel\vec{w}\parallel#, #\sin(\varphi)#, waarbij #\varphi# strikt tussen #0^\circ# en #180^\circ# ligt. Alle drie factoren zijn ongelijk aan #0#, dus het scalaire veelvoud van #\vec{u}# is ongelijk aan #\vec{0}#. Dit bewijst uitspraak 6.

7. Dit is een gevolg van het feit dat #\vec{v}#, #\vec{w}#, #\vec{u}# rechtshandig georiënteerd is en #\vec{v}\times\vec{w}# een scalair veelvoud van #\vec{u}# is met een positieve scalar.

De tweede eigenschap en de lengte van #\vec{v}\times\vec{w}# leggen het uitproduct van twee vectoren net niet helemaal vast: op grond van deze twee onderdelen kan het uitproduct nog twee kanten uitwijzen (loodrecht uit het vlak opgespannen door #\vec{v}# en #\vec{w}#). We zullen in de context van de ruimte aanduiden hoe je meetkundig kunt beschrijven naar welke kant het uitproduct wijst. In het algemeen blijkt namelijk het volgende te gelden: kies een orthormale basis #\vec{e}_1#, #\vec{e}_2#, #\vec{e}_3# van de ruimte. Als deze basis zó gekozen is dat een kurkentrekker die van #\vec{e}_1# naar #\vec{e}_2# gedraaid wordt, in de richting van #\vec{e}_3# beweegt, dan beweegt een kurkentrekker die van #\vec{v}# naar #\vec{w}# gedraaid wordt in de richting van #\vec{v}\times \vec{w}#. Beweegt de kurkentrekker die van #\vec{e}_1# naar #\vec{e}_2# gedraaid wordt in de richting van #-\vec{e}_3#, dan beweegt een kurkentrekker die van #\vec{v}# naar #\vec{w}# gedraaid wordt in de richting van #-\vec{v}\times \vec{w}#.

Door de zevende eigenschap tezamen met de tweede en de lengte wordt #\vec{v}\times\vec{w}# wel volledig bepaald.

Over het bewijs van eigenschap d) [obv oude def]

Zoals gezegd volgen de bewijzen door uitschrijven met behulp

van de definitie. Bij onderdeel d) moet je wel subtiel

manoeuvreren om de gelijkheid voor elkaar te krijgen. Vandaar

dat we hier het idee achter de berekening toelichten.

Als je wilt bewijzen dat

#\parallel\vec{v}\times \vec{w}\parallel = \parallel\vec{v}\parallel\cdot \parallel\vec{w}\parallel\cdot \sin( \varphi)#,

is het handig om op de kwadraten over te stappen en aan te tonen dat

#\parallel\vec{v}\times \vec{w}\parallel^2# gelijk is aan

\[\parallel\vec{v}\parallel^2\cdot \parallel\vec{w}\parallel^2\cdot \sin^2 (\varphi ).\]

Als je hierin #\sin^2 (\varphi)# vervangt door #1-\cos^2 (\varphi)#, dan kom je op het spoor van het inproduct: \[\parallel\vec{v}\parallel^2\cdot \parallel\vec{w}\parallel^2\cdot \sin^2 (\varphi) = \parallel\vec{v}\parallel^2\cdot \parallel\vec{w}\parallel^2\cdot\left (1- \cos^2( \varphi)\right ) =\parallel\vec{v}\parallel^2\cdot \parallel\vec{w}\parallel^2 - (\vec{v}\cdot \vec{w})^2 \]Wat je dus doet is, door uitschrijven bewijzen dat #\parallel\vec{v}\times \vec{w}\parallel^2# gelijk is aan #\parallel\vec{v}\parallel^2\cdot \parallel\vec{w}\parallel^2 - (\vec{v}\cdot \vec{w})^2 #, dus dat #(v_2\cdot w_3-v_3\cdot w_2)^2 + (v_3\cdot w_1 - v_1\cdot w_3)^2 + (v_1\cdot w_2 - v_2\cdot w_1)^2# gelijk is aan\[(v_1^2+v_2^2+v_3^2)\cdot (w_1^2 + w_2^2 + w_3^2) - (v_1\cdot w_1 + v_2\cdot w_2 + v_3\cdot w_3)^2\]Dat laten we aan de lezer over.