Vectorrekening in vlak en ruimte: Het uitproduct
Het standaarduitproduct
Het uitproduct in coördinaten
Laat #\vec{e}_1#, #\vec{e}_2#, #\vec{e}_3# een rechtshandig georiënteerde basis van de ruimte zijn en schrijf de coördinaten ten opzichte van deze basis. Dan is het uitproduct van de vectoren #\vec{v}=\rv{v_1, v_2, v_3}# en #\vec{w} = \rv{w_1, w_2, w_3}#, waarbij de coördinaten gegeven zijn ten opzichte van de basis, gegeven door\[\vec{v}\times\vec{w} = \rv{v_2\cdot w_3-v_3\cdot w_2, v_3\cdot w_1-v_1\cdot w_3, v_1\cdot w_2-v_2\cdot w_1}\]
Bewijs: Dit volgt uit een recht-toe-recht-aan berekening die vooral de additiviteit en gemengde associativiteit ten opzichte van scalaire vermenigvuldiging gebruikt:\[\begin{array}{rcl} \vec{v}\times\vec{w}&=&\left(v_1\vec{e}_1+v_2\vec{e}_2+v_3\vec{e}_3\right)\times\left(w_1\vec{e}_1+w_2\vec{e}_2+w_3\vec{e}_3\right)\\&=&\left(v_1\vec{e}_1\right)\times\left(w_1\vec{e}_1+w_2\vec{e}_2+w_3\vec{e}_3\right)\\&&+\left(v_2\vec{e}_2\right)\times\left(w_1\vec{e}_1+w_2\vec{e}_2+w_3\vec{e}_3\right)\\&&+\left(v_3\vec{e}_3\right)\times\left(w_1\vec{e}_1+w_2\vec{e}_2+w_3\vec{e}_3\right)\\&=&\left(v_1\vec{e}_1\right)\times\left(w_1\vec{e}_1\right)+\left(v_1\vec{e}_1\right)\times\left(w_2\vec{e}_2\right)+\left(v_1\vec{e}_1\right)\times\left(w_3\vec{e}_3\right)\\&&+\left(v_2\vec{e}_2\right)\times\left(w_1\vec{e}_1\right)+\left(v_2\vec{e}_2\right)\times\left(w_2\vec{e}_2\right)+\left(v_2\vec{e}_2\right)\times\left(w_3\vec{e}_3\right)\\&&+\left(v_3\vec{e}_3\right)\times\left(w_1\vec{e}_1\right)+\left(v_3\vec{e}_3\right)\times\left(w_2\vec{e}_2\right)+\left(v_3\vec{e}_3\right)\times\left(w_3\vec{e}_3\right)\\&=&v_1\cdot w_1\cdot \left(\vec{e}_1\times\vec{e}_1\right)+v_1\cdot w_2\left(\vec{e}_1\times\vec{e}_2\right)+v_1\cdot w_3\left(\vec{e}_1\times \vec{e}_3\right)\\&&+v_2\cdot w_1 \left(\vec{e}_2\times\vec{e}_1\right)+v_2\cdot w_2\left(\vec{e}_2\times\vec{e}_2\right)+v_2\cdot w_3\left(\vec{e}_2\times \vec{e}_3\right)\\&&+v_3\cdot w_1\left(\vec{e}_3\times\vec{e}_1\right)+v_3\cdot w_2 \left(\vec{e}_3\times\vec{e}_2\right)+v_3\cdot w_3 \left(\vec{e}_3\times\vec{e}_3\right)\\&=&v_1\cdot w_1\cdot \vec{0}+v_1\cdot w_2\left(\vec{e}_3\right)-v_1\cdot w_3\left(\vec{e}_2\right)\\&&-v_2\cdot w_1 \left(\vec{e}_3\right)+v_2\cdot w_2\cdot\vec{0}+v_2\cdot w_3\left(\vec{e}_1\right)\\&&+v_3\cdot w_1\left(\vec{e}_2\right)-v_3\cdot w_2 \left(\vec{e}_1\right)+v_3\cdot w_3\cdot \vec{0}\\&=&\left(v_2\cdot w_3-v_3\cdot w_2\right)\vec{e}_1+\left(v_3\cdot w_1-v_1\cdot w_3\right)\vec{e}_2+\left(v_1\cdot w_2-v_2\cdot w_1\right)\vec{e}_3 \\ \end{array}\]
Omdat de standaardbasis van #\mathbb{R}^3# orthonormaal is, geldt deze formule in het bijzonder voor het uitproduct in #\mathbb{R}^3# ten opzichte van die basis. Om dit uitproduct te onderscheiden van uitproducten uitgedrukt in coördinaten die afkomstig zijn van andere basiskeuzes, geven we het een speciale naam:
Standaarduitproduct
Het standaarduitproduct van twee vectoren #\vec{v}= \rv{v_1, v_2,v_3}# en #\vec{w}= \rv{w_1, w_2,w_3}# in #\mathbb{R}^3# is het uitproduct uitgedrukt in coördinaten ten opzichte van de standaardbasis. Het wordt gegeven door bovenstaande formule.
Een normaalvector van het vlak #V# met parametervoorstelling #\vec{x} = \rv{1,2,3}+ \lambda\cdot\rv{1,2,1}+\mu \cdot\rv{3,1,0}# is\[\rv{1,2,1}\times \rv{3,1,0}= \rv{-1,3,-5}\tiny.\]Een vergelijking van het vlak is dus #-x_1 + 3x_2 -5x_3 = d# voor een of andere #d#. Vullen we #\rv{1,2,3}# in, dan vinden we dat #d=-10#. Een vergelijking is dus #-x_1 +3x_2 -5x_3 = -10#.
Bepaal een normaalvector van #V#.
Geef je antwoord in de vorm #\rv{a_1,a_2,a_3}#, waarbij #a_1#, #a_2#, #a_3# gehele getallen zijn.
Een normaalvector van #V# is een vector die niet de nulvector is en loodrecht staat op de twee richtingsvectoren #\rv{2,2,-5}# en #\rv{-4,-4,-2}#. Het uitproduct van deze twee vectoren is zo'n vector. Volgens het uitproduct in coördinaten geldt:
\[\begin{array}{rcl}\rv{2,2,-5}\times\rv{-4,-4,-2}&=&\rv{2\cdot -2+5\cdot -4, -5\cdot -4-2\cdot -2, 2\cdot -4-2\cdot -4}\\&=&\rv{-24,24,0}\end{array}\]
Dus #\rv{-24,24,0}# is een normaalvector.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
