Vectorrekening in vlak en ruimte: Bases en coördinaten
Rechten in de coördinaatruimte
We hebben gezien dat een rechte #\ell# in de coördinaatruimte #\mathbb{R}^3# bepaald kan worden door een parametervoorstelling
\[\rv{x, y, z} = \rv{a, b, c} + \lambda \cdot\rv{u, v, w}
\]waarbij #\rv{a, b, c}# een steunpunt van #\ell# is en #\rv{u, v, w}# een richtingsvector (dus minstens één van #u#, #v#, #w# is niet gelijk aan #0#). Voor elke reële waarde van de parameter #\lambda# behoort het zo beschreven punt #\rv{x,y,z}# tot #\ell#, en voor elk punt van #\ell# is er een waarde van #\lambda#.
Een rechte in de ruimte kun je ook door middel van twee lineaire vergelijkingen met drie onbekenden beschrijven. Een rechte is namelijk altijd te zien als de doorsnijding van twee vlakken en beide vlakken kunnen we door middel van een vergelijking voorstellen.
Van parametervoorstelling naar vergelijkingen voor rechten en terug in de coördinaatruimte
De punten van de rechte #\ell# met parametervoorstelling\[
\rv{x, y, z} = \rv{a, b, c} + \lambda \cdot\rv{u, v, w}
\]zijn alle oplossingen van de vergelijkingen die je uit\[\eqs{x &=& a+\lambda \cdot u\cr y &=& b+\lambda \cdot v\cr z &=& c+\lambda \cdot w\cr }\]verkrijgt door eliminatie van #\lambda#. Elk tweetal levert door eliminatie van #\lambda# een vergelijking zonder #\lambda#. Elk van de drie zo verkregen lineaire vergelijkingen met onbekenden #x#, #y#, #z# heeft als oplossingsverzameling een vlak of de hele ruimte. Twee van deze drie stellen verschillende vlakken voor met doorsnijding #\ell#.
Andersom vormen de oplossingen van een tweetal lineaire vergelijkingen met onbekenden #x#, #y# #z# een rechte lijn of een vlak. Het laatste geval doet zich alleen voor als de twee vergelijkingen elk hetzelfde vlak beschrijven.
Eliminatie van #\lambda# uit de eerste twee vergelijkingen kunnen we bewerkstelligen door #v# maal de eerste vergelijking van #u# maal de tweede af te trekken. Dit geeft\[u\cdot y - v\cdot x=u\cdot b-v\cdot a\]Net zo vinden we \[\eqs{u\cdot z-w\cdot x &=& u\cdot c-w\cdot a\cr v\cdot z-w\cdot y &=& v\cdot c-w\cdot b\cr}\]Omdat minstens één van #u#, #v#, #w# niet gelijk is aan #0#, hebben minstens twee van de drie vergelijkingen zonder #\lambda# een term met een onbekende erin (deze vergelijkingen zijn dus niet herleidbaar tot #0=0#). Dit betekent dat minstens twee van de drie een vlak voorstellen. Het is zelfs zo dat twee van de drie verschillende vlakken beschrijven. Omdat de coördinaten van de punten van #\ell# aan deze vergelijkingen voldoen, zal #\ell# in beide vlakken liggen. Aangezien twee verschillende vlakken in de ruimte elkaar helemaal niet (in geval van evenwijdigheid) of in een lijn snijden, vormen de oplossingen van de laatstgenoemde twee vergelijkingen de lijn #\ell#.
De tweede uitspraak kan met dezelfde meetkundige observaties over doorsnijdingen van vlakken bewezen worden.
In plaats van nieuwe variabelenamen voor elke coördinaat, zullen we in het vervolg de coördinaten van een vector #\vec{v}# in #\mathbb{R}^3# vaak met #\rv{v_1,v_2,v_3}# aangeven. Ook zullen we vaak de kolomnotatie hanteren. Zo zou een parametervoorstelling van een lijn met steunpunt #\vec{a}# en richtingsvector #\vec{v}# in #\mathbb{R}^3# ook als volgt geformuleerd kunnen worden:\[\left(\begin{array}{l}x_1 \\x_2\\x_3
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{l}
a_1 \\a_2\\a_3
\end{array}\right)
+
\lambda
\left(\begin{array}{l}
v_1 \\v_2\\v_3
\end{array}\right)
\]
Hieronder zijn voorbeelden gegeven van de overgangen tussen parametervoorstelling en vergelijkingen voor een lijn. Systematische methoden om dit soort berekeningen uit te voeren, komen in het hoofdstuk Stelsels lineaire vergelijkingen en matrices aan de orde.
Geef je antwoord in de vorm #a\cdot x+b\cdot y+c\cdot z+d = 0\land f\cdot x+g\cdot y+h\cdot z+j = 0#, waarbij #a#, #b#, #c#, #d#, #f#, #g#, #h#, #j# gehele getallen zijn.
De parametervoorstelling van #\ell# kan geschreven worden als het stelsel vergelijkingen
\[\eqs{x &=& 4 + 3\lambda \cr y &=& 5 -5\lambda \cr z &=& 3 -4\lambda \cr }\]Eliminatie van #\lambda# uit elk tweetal van deze drie vergelijkingen geeft:
\[\eqs{-5\cdot x-3\cdot y &=&-5\cdot 4-3\cdot 5=-35\cr -4\cdot x -3\cdot z&=& -4\cdot 4-3\cdot 3=-25\cr -4\cdot y +5\cdot z&=& -4\cdot 5+5\cdot 3=-5\cr}
\]De eerste twee vergelijkingen bepalen verschillende vlakken. Ze volstaan dus als stelsel vergelijkingen voor de lijn #\ell#. Een goed antwoord is dus\[-5\cdot x-3\cdot y +35=0\, \land \, -4\cdot x -3\cdot z+25=0
\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
