Vectorrekening in vlak en ruimte: Bases en coördinaten
Vlakken in de coördinaatruimte
We hebben eerder gezien dat een parametervoorstelling van een vlak #V# in de ruimte de vorm # \vec{a}+\lambda \cdot\vec{u}+ \mu\cdot \vec{v}# heeft, waarbij #\vec{a}#, #\vec{u}# en #\vec{v}# vectoren zijn, zodat #\vec{u}# en #\vec{v}# niet samen met #\vec{0}# op een lijn liggen, en #\lambda# en #\mu# parameters zijn. De vector die zo ontstaat, stelt een algemeen element van het vlak #V# voor. Deze voorstelling kan op diverse manieren in coördinaten #x_1#, #x_2#, #x_3# uitgeschreven worden:
- Parametervoorstelling in `rijennotatie':
\[
\rv{x_1, x_2, x_3} = \rv{a_1, a_2 , a_3}+ \lambda\cdot\rv{u_1, u_2, u_3} + \mu\cdot\rv{v_1, v_2, v_3}\tiny.
\] - Parametervoorstelling in kolomnotatie:
\[
\left(\begin{array}{l}
x_1 \\x_2 \\x_3
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{l}
a_1 \\a_2 \\a_3
\end{array}\right)
+
\lambda \cdot
\left(\begin{array}{l}
u_1 \\ u_2 \\ u_3
\end{array}\right)
+
\mu \cdot
\left(\begin{array}{l}
v_1 \\v_2 \\v_3
\end{array}\right) \,\tiny.
\] - Of gewoon elke coördinaat apart:
\[
\begin{array}{lll}
x_1 & = & a_1 + \lambda \cdot u_1 + \mu\cdot v_1 \\
x_2 & = & a_2 + \lambda\cdot u_2 + \mu\cdot v_2 \\
x_3 & = & a_3 + \lambda\cdot u_3 + \mu\cdot v_3\tiny.\\
\end{array}
\]
Van parametervoorstelling van vlak naar vergelijking
Elke parametervoorstelling met parameters #\lambda# en #\mu# van een vlak in de coördinaatruimte #\mathbb{R}^3# kan gezien worden als een drietal lineaire vergelijkingen in de parameters #\lambda# en #\mu# en de coördinaten #x_1#, #x_2#, #x_3#.
Na eliminatie van de parameters #\lambda# en #\mu# uit het drietal vergelijkingen ontstaat een vergelijking van het vlak, die een lineaire vergelijking is in de coördinaten #x_1#, #x_2#, #x_3#: \[d_1\cdot x_1 + d_2\cdot x_2 + d_3\cdot x_3 = d_4\tiny,\] voor zekere #d_1#, #d_2#, #d_3#, #d_4#. Minstens één van de coëfficiënten #d_1#, #d_2#, #d_3# moet hierbij ongelijk aan nul zijn.
Hieronder staan voorbeelden van verschillende methoden om van een parametervoorstelling naar een vergelijking voor een vlak en terug te gaan.
We zoeken een vergelijking van de vorm #a\cdot x+b\cdot y+c\cdot z+d=0#, zodat elk punt van de vorm \[\rv{x,y,z} = \left[ 1 , 0 , -1 \right] +\lambda\cdot \left[ -2 , -2 , 1 \right]+\mu\cdot \left[ -3 , 1 , 3 \right]\]een oplossing is. Dit betekent dat #x#, #y# en #z# voldoen aan de vergelijkingen
\[\eqs{x&=&-2\cdot \lambda-3\cdot \mu+1\cr y&=&\mu-2\cdot \lambda\cr z&=&\lambda+3\cdot \mu-1\cr}\]
Door middel van vegen werken we toe naar een lineaire vergelijking met onbekenden #x#, #y# en #z# waar #\lambda# en #\mu# niet meer in voorkomen. Eerst werken we #\lambda# uit deze vergelijkingen door geschikte lineaire combinaties te nemen:
\[\begin{array}{rcl}\eqs{-2\cdot x+2\cdot y-8\cdot \mu+2&=&0\cr x+2\cdot z-3\cdot \mu+1&=&0\cr y+2\cdot z-7\cdot \mu+2&=&0\cr}
\end{array}\]Hier is de eerste vergelijking verkregen door de eerste vergelijking van het stelsel erboven met #-2# (de coëfficiënt van #\lambda# in de tweede vergelijking) te vermenigvuldigen, de tweede met #-2# (de coëfficiënt van #\lambda# in de eerste vergelijking), het tweede resultaat van het eerste af te trekken, en alle termen naar links te brengen in de zo verkregen vergelijking. De tweede en de derde vergelijking zijn net zo verkregen, maar dan door uit te gaan van een ander tweetal uit het bovenstaande drietal vergelijkingen met #\lambda# en #\mu#.
Vervolgens werken we de parameter #\mu# weg met dezelfde methode. Dit geeft
\[\begin{array}{rcl}\eqs{14\cdot x-6\cdot y+16\cdot z+2&=&0\cr -7\cdot x+3\cdot y-8\cdot z-1&=&0\cr 14\cdot x-6\cdot y+16\cdot z+2&=&0\cr}
\end{array}\]Alle drie vergelijkingen zijn op een veelvoud na gelijk aan
\[7\cdot x-3\cdot y+8\cdot z +1=0\tiny.\]Dit is dan ook een vergelijking van het vlak.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
